問題：恒等式 (x+4)(x+5)=x²+px+q が成り立つとき、p,qを求めなさい。

解答：p=9, q=20

解説：左辺を展開して係数を比較する。

問題：多項式 x³+4x²−5x+6 を x−1 で割った余りを求めなさい。

解答：6

解説：剰余の定理より f(1) を計算する。

問題：x²+9x+20 を因数分解しなさい。

解答：(x+4)(x+5)

解説：和と積が合う2数を探す。

問題：等式 x²+ax+20= (x+4)(x+5) が成り立つとき、aを求めなさい。

解答：9

解説：右辺のxの係数を読む。

問題：不等式 x²−9x+20≦0 を解きなさい。

解答：4≦x≦5

解説：左辺を因数分解し、放物線がx軸以下になる範囲を考える。

問題：複素数 z=4+5i の共役複素数と絶対値を求めなさい。

解答：共役複素数 4−5i、絶対値 √41

解説：共役は虚部の符号を変え、絶対値は√(実部²+虚部²)。

問題：i²=−1 として、(4+i)(5−2i) を a+bi の形にしなさい。

解答：22+-3i

解説：分配法則で展開し、i²=-1を用いる。

問題：2次方程式 x²−9x+20=0 を解きなさい。

解答：x=4,5

解説：因数分解して各因数を0とおく。

問題：方程式 x²+8x+21=0 の判別式Dを求め、実数解の個数を答えなさい。

解答：D=-20、実数解なし

解説：D=b²-4acを計算する。D<0なので実数解はない。

問題：点 A(4,5) と B(8,7) を結ぶ線分ABの中点を求めなさい。

解答：(6,6)

解説：中点はx座標・y座標の平均。

問題：2点 (4,5), (7,11) を通る直線の傾きを求めなさい。

解答：2

解説：yの増加量をxの増加量で割る。

問題：点 (4,5) を通り、傾き 6 の直線の方程式を求めなさい。

解答：y=6x+-19

解説：y=Cx+bに点の座標を代入してbを求める。

問題：中心 (4,−5)、半径 7 の円の方程式を求めなさい。

解答：(x−4)²+(y+5)²=49

解説：円の標準形 (x-a)²+(y-b)²=r² を用いる。

問題：円 x²+y²=31 上の点 (4,5) における接線の方程式を、点が円上にあるとして求める公式を説明しなさい。

解答：x₁x+y₁y=r² を用いる

解説：円x²+y²=r²の接線は、接点(x₁,y₁)に対してx₁x+y₁y=r²。

問題：直線 4x+5y−20=0 と点 (5,4) の距離を求めなさい。

解答：|20|/√41= 20/√41

解説：点と直線の距離公式に代入する。

問題：sin30°、cos60°、tan45° の値をそれぞれ答えなさい。

解答：sin30°=1/2、cos60°=1/2、tan45°=1

解説：基本角の三角比を確認する。

問題：0°≦θ<360°で sinθ=1/2 を満たすθを求めなさい。

解答：θ=30°,150°

解説：sinが正なのは第1・第2象限。基準角は30°。

問題：0°≦θ<360°で cosθ=−1/2 を満たすθを求めなさい。

解答：θ=120°,240°

解説：cosが負なのは第2・第3象限。基準角は60°。

問題：加法定理を用いて sin75° の値を求めなさい。

解答：(√6+√2)/4

解説：75°=45°+30°としてsin(A+B)を使う。

問題：tanθ=4/5 のとき、tan(θ+45°) をA,Bを使わず数値で求めなさい。ただし θ は第1象限で、A=4,B=5 とする。

解答：9/1

解説：tanの加法定理 (tanθ+1)/(1−tanθ) を使う。

問題：2^4・2^5 を 2 の累乗で表しなさい。

解答：2^9

解説：同じ底の積では指数を加える。

問題：(3^4)^5 を 3 の累乗で表しなさい。

解答：3^20

解説：累乗の累乗では指数をかける。

問題：log₂ 512 の値を求めなさい。

解答：9

解説：2を何乗すると真数になるかを考える。

問題：log₃ 81+log₃ 243 を計算しなさい。

解答：9

解説：対数の和は真数の積、またはそれぞれ指数を読む。

問題：方程式 2^x=64 を解きなさい。

解答：x=6

解説：両辺を同じ底2の累乗として指数を比較する。

問題：方程式 log₂(x−4)=5 を解きなさい。

解答：x=36

解説：対数を指数の形に直す。

問題：関数 f(x)=x³−4x²+5x−6 を微分しなさい。

解答：f'(x)=3x²−8x+5

解説：各項をべきの微分公式で微分する。

問題：f(x)=x²+4x+5 の x=6 における微分係数を求めなさい。

解答：16

解説：f'(x)=2x+A に x=C を代入する。

問題：曲線 y=x²+4x+5 上の x=6 における接線の方程式を求めなさい。

解答：y=16x+-31

解説：接線の傾きは微分係数。点を通る直線を作る。

問題：関数 y=x³−3x の増減を調べるため、導関数を求め、極値を答えなさい。

解答：y'=3x²−3、x=-1で極大値2、x=1で極小値-2

解説：y'=3(x-1)(x+1)の符号変化を見る。

問題：∫( 4x+5 ) dx を求めなさい。

解答：4/2 x²+5x+C

解説：不定積分では次数を1上げて係数を割る。

問題：∫₀^4 (2x+5) dx を求めなさい。

解答：36

解説：原始関数 x²+Bx に上下端を代入する。

問題：曲線 y=x² と x軸、x=4 で囲まれる部分の面積を求めなさい。

解答：64/3

解説：0からAまでx²を積分する。

問題：放物線 y=x²−9x+20 と x軸の共有点のx座標を求めなさい。

解答：x=4,5

解説：y=0として因数分解する。

問題：直線 y=4x+5 と y=4x−6 の位置関係を答えなさい。

解答：平行で交わらない

解説：傾きが等しく、切片が異なる。

問題：円 (x−4)²+(y−5)²=36 の中心と半径を答えなさい。

解答：中心(4,5)、半径6

解説：円の標準形から読み取る。

問題：sin²θ+cos²θ の値を答えなさい。

解答：1

解説：三角関数の基本公式。

問題：logₐ1 の値を答えなさい。ただし a>0, a≠1 とする。

解答：0

解説：a⁰=1なのでlogₐ1=0。

問題：f(x)=x³−12x の x=4 における接線の傾きを求めなさい。

解答：36

解説：f'(x)=3x²-3Aにx=Aを代入する。

問題：∫₁^5 4x² dx を求めなさい。

解答：496/3

解説：原始関数は(A/3)x³。1からBまで代入する。