問題：確率変数Xが0,1をそれぞれ確率1/2でとるとき，E(X)を求めなさい。

解答：1/2

解説：0×1/2+1×1/2=1/2です。

問題：Xが1,2,3を等確率でとるとき，E(X)を求めなさい。

解答：2

解説：(1+2+3)/3=2です。

問題：Xが1を確率0.3，4を確率0.7でとるとき，E(X)を求めなさい。

解答：3.1

解説：1×0.3+4×0.7=3.1です。

問題：Xが0,2をそれぞれ確率1/4,3/4でとるとき，V(X)を求めなさい。

解答：3/4

解説：E=3/2，E(X²)=3。分散は3-(3/2)^2=3/4です。

問題：さいころ1個の出る目Xの期待値を求めなさい。

解答：7/2

解説：(1+2+3+4+5+6)/6=7/2です。

問題：さいころ1個の出る目Xの分散を求めなさい。

解答：35/12

解説：E(X²)=91/6，E(X)=7/2より91/6-49/4=35/12です。

問題：Xの期待値が5のとき，E(3X+2)を求めなさい。

解答：17

解説：期待値の線形性より3×5+2=17です。

問題：Xの分散が4のとき，V(2X-7)を求めなさい。

解答：16

解説：分散は係数の2乗倍なので2²×4=16です。

問題：X,Yが独立で E(X)=3，E(Y)=4 のとき，E(X+Y)を求めなさい。

解答：7

解説：期待値は常に加法性を持ちます。

問題：独立なX,Yで V(X)=2，V(Y)=5 のとき，V(X+Y)を求めなさい。

解答：7

解説：独立なら分散は加えられます。

問題：ベルヌーイ分布で成功確率p=0.2のとき，期待値を求めなさい。

解答：0.2

解説：ベルヌーイ分布の期待値はpです。

問題：ベルヌーイ分布で成功確率p=0.2のとき，分散を求めなさい。

解答：0.16

解説：分散はp(1-p)=0.2×0.8=0.16です。

問題：Xが二項分布B(10,0.3)に従うとき，E(X)を求めなさい。

解答：3

解説：np=10×0.3=3です。

問題：Xが二項分布B(10,0.3)に従うとき，V(X)を求めなさい。

解答：2.1

解説：np(1-p)=10×0.3×0.7=2.1です。

問題：Xが二項分布B(5,1/2)に従うとき，P(X=2)を求めなさい。

解答：5/16

解説：5C2(1/2)^5=10/32=5/16です。

問題：XがB(4,1/3)に従うとき，P(X=0)を求めなさい。

解答：16/81

解説：失敗確率2/3が4回なので(2/3)^4=16/81です。

問題：XがB(6,1/2)に従うとき，P(X≥5)を求めなさい。

解答：7/64

解説：P(5)+P(6)=(6+1)/64=7/64です。

問題：XがB(3,0.2)に従うとき，P(X=1)を求めなさい。

解答：0.384

解説：3C1×0.2×0.8²=0.384です。

問題：XがB(8,0.25)に従うとき，E(X)とV(X)を求めなさい。

解答：E(X)=2，V(X)=1.5

解説：np=2，np(1-p)=8×0.25×0.75=1.5です。

問題：XがB(n,p)に従うとき，期待値と分散を答えなさい。

解答：E(X)=np，V(X)=np(1-p)

解説：二項分布の基本公式です。

問題：Xが平均50，分散9の分布に従うとき，標準偏差を求めなさい。

解答：3

解説：標準偏差は分散の平方根です。

問題：Zが標準正規分布に従うとき，P(Z≤0)を求めなさい。

解答：1/2

解説：標準正規分布は0を中心に対称です。

問題：Zが標準正規分布に従い，P(0≤Z≤1.96)=0.475 とする。P(-1.96≤Z≤1.96)を求めなさい。

解答：0.95

解説：対称性より2×0.475=0.95です。

問題：Xが正規分布N(50,10²)に従うとき，Z=(X-50)/10 とおく。X=70に対応するZを求めなさい。

解答：2

解説：(70-50)/10=2です。

問題：XがN(100,15²)に従うとき，X=85に対応する標準化値を求めなさい。

解答：-1

解説：(85-100)/15=-1です。

問題：XがN(60,8²)に従う。Z=1.5に対応するXを求めなさい。

解答：72

解説：X=60+1.5×8=72です。

問題：確率変数Xの標準化 Z=(X-μ)/σ の期待値と分散を答えなさい。

解答：期待値0，分散1

解説：平均を引いて標準偏差で割るため，標準化後は平均0，分散1です。

問題：XがB(100,0.4)に従うとき，正規近似で用いる平均と分散を求めなさい。

解答：平均40，分散24

解説：np=40，np(1-p)=24です。

問題：XがB(200,0.5)に従うとき，正規近似で用いる標準偏差を求めなさい。

解答：√50

解説：分散は200×0.5×0.5=50です。

問題：XがB(25,0.2)に従うとき，P(X=3)を式で表しなさい。

解答：25C3(0.2)^3(0.8)^22

解説：二項分布の確率公式を用います。

問題：X,Yが独立で E(X)=2，E(Y)=5，V(X)=1，V(Y)=4 のとき，E(2X-Y)を求めなさい。

解答：-1

解説：2E(X)-E(Y)=4-5=-1です。

問題：X,Yが独立で V(X)=3，V(Y)=2 のとき，V(2X-3Y)を求めなさい。

解答：30

解説：4V(X)+9V(Y)=12+18=30です。

問題：Xが0,1,2を確率1/4,1/2,1/4でとるとき，E(X)を求めなさい。

解答：1

解説：0×1/4+1×1/2+2×1/4=1です。

問題：Xが0,1,2を確率1/4,1/2,1/4でとるとき，V(X)を求めなさい。

解答：1/2

解説：E(X²)=0+1/2+1=3/2，E(X)=1より分散は1/2です。

問題：サイコロを2回投げ，6の出た回数をXとする。Xの分布を答えなさい。

解答：B(2,1/6)

解説：各回で6が出るかどうかの独立なベルヌーイ試行2回です。

問題：サイコロを12回投げ，6の出る回数Xの期待値を求めなさい。

解答：2

解説：XはB(12,1/6)なので期待値は12×1/6=2です。

問題：硬貨を10回投げ，表の回数Xの分散を求めなさい。

解答：5/2

解説：XはB(10,1/2)なので分散は10×1/2×1/2=5/2です。

問題：独立な確率変数X,Yについて，E(XY)をE(X),E(Y)で表しなさい。

解答：E(XY)=E(X)E(Y)

解説：独立な確率変数では積の期待値は期待値の積になります。

問題：Xが平均μ，分散σ²の分布に従うとき，E((X-μ)^2)を求めなさい。

解答：σ²

解説：分散の定義そのものです。

問題：XがN(0,1)に従うとき，P(Z≥0)を求めなさい。

解答：1/2

解説：標準正規分布は左右対称です。