問題：数列 aₙ=7n+2 について、第15項を求めなさい。

解答：107

解説：n=15を代入して7×15+2=107です。

問題：初項8、公差9の等差数列で、第12項を求めなさい。

解答：107

解説：aₙ=a₁+(n−1)dを用います。

問題：初項2、公比3の等比数列で、第6項を求めなさい。

解答：486

解説：a₆=a₁r⁵です。

問題：等差数列で a₃=25, a₉=73 のとき、公差を求めなさい。

解答：8

解説：6d=a₉−a₃より求めます。

問題：Σ(k=1から13) k を求めなさい。

解答：91

解説：1からnまでの和はn(n+1)/2です。

問題：Σ(k=1から11) k² を求めなさい。

解答：506

解説：平方和の公式n(n+1)(2n+1)/6を用います。

問題：数列 2, 5, 10, 17, … の第n項を推測して表しなさい。

解答：n²+1

解説：差が3,5,7,…なので平方数に1を加えた形です。

問題：a₁=7, aₙ₊₁=aₙ+2n で定まる数列のa₅を求めなさい。

解答：27

解説：a₅=a₁+2(1+2+3+4)です。

問題：データ 7, 9, 11, 13 の平均を求めなさい。

解答：10

解説：等間隔の4個なので中央2つの平均でも求められます。

問題：データ 1, 1, 3, 5, 5 の中央値を求めなさい。

解答：3

解説：小さい順に並べた中央の値が中央値です。

問題：5個のデータの平均が17で、そのうち4個が 13, 16, 19, 22 である。残り1個を求めなさい。

解答：15

解説：合計=平均×個数から4個分を引きます。

問題：確率変数Xが0,1,2をそれぞれ 1/4,1/2,1/4 の確率でとるとき、E(X)を求めなさい。

解答：1

解説：0×1/4+1×1/2+2×1/4=1です。

問題：サイコロ1個を投げ、出た目をXとする。E(X)を求めなさい。

解答：7/2

解説：(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=7/2です。

問題：硬貨を3回投げるとき、表の回数Xの分散を求めなさい。

解答：3/4

解説：X〜B(3,1/2)なのでV=np(1−p)=3×1/2×1/2=3/4です。

問題：X〜B(6,1/3)のとき、P(X=0)を求めなさい。

解答：64/729

解説：(2/3)⁶=64/729です。

問題：X〜B(10,0.2)の平均を求めなさい。

解答：2

解説：np=10×0.2=2です。

問題：X〜B(10,0.2)の分散を求めなさい。

解答：1.6

解説：np(1−p)=10×0.2×0.8=1.6です。

問題：標準正規分布でP(Z≦0)=いくつか。

解答：1/2

解説：標準正規分布は0を中心に左右対称です。

問題：標本平均が57、標準誤差が3のとき、係数2で作る信頼区間を求めなさい。

解答：51≦μ≦63

解説：標本平均±2×標準誤差で求めます。

問題：母標準偏差が15、標本サイズ25のとき、標本平均の標準偏差を求めなさい。

解答：3

解説：標準誤差はσ/√nです。

問題：等差数列で第4項が19、第14項が89である。初項を求めなさい。

解答：-2

解説：第4項から第14項までは10間隔なので公差は7です。a₁=a₄−3d=5−7です。

問題：初項3、公比2の等比数列で、初めのn項の和が93となるnを求めなさい。

解答：5

解説：3(2ⁿ−1)=93より2ⁿ=32、n=5です。

問題：Σ(k=1からn) (2k+3) をnで表しなさい。

解答：n²+4n

解説：2Σk+3n=n(n+1)+3n=n²+4nです。

問題：Σ(k=1からn) (k²−k) をnで表しなさい。

解答：n(n+1)(n−1)/3

解説：Σk²−Σk=n(n+1)(2n+1)/6−n(n+1)/2です。

問題：a₁=4, aₙ₊₁=aₙ+2n+1 の一般項を求めなさい。

解答：aₙ=n²+3

解説：aₙ=4+Σ(k=1からn−1)(2k+1)=4+(n−1)n+(n−1)=n²+3です。

問題：数列aₙ=n²−4nについて、aₙが最小となるnと最小値を求めなさい。

解答：n=2、最小値−4

解説：aₙ=(n−2)²−4なので正の整数nではn=2で最小です。

問題：互いに独立な2つの事象A,BでP(A)=1/3, P(B)=1/4のとき、P(A∪B)を求めなさい。

解答：1/2

解説：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)=1/3+1/4−1/12=1/2です。

問題：赤4個、白3個、青2個から同時に3個取り出す。すべて異なる色である確率を求めなさい。

解答：24/84=2/7

解説：全体は₉C₃=84。異色は4×3×2=24です。

問題：Xの分布がP(X=−1)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=3)=1/4のとき、V(X)を求めなさい。

解答：2

解説：E=1、E(X²)=3よりV=3−1=2です。

問題：X〜B(7,1/2)について、P(Xが奇数)を求めなさい。

解答：1/2

解説：p=1/2の二項分布では奇数回と偶数回が対称で同確率です。

問題：Sₙ=3n²−nで表される数列の第n項aₙを求めなさい。

解答：6n−4

解説：aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁で求めます。

問題：a₁=2, aₙ₊₁=3aₙ−4 の一般項を求めなさい。

解答：aₙ=2

解説：定数解LはL=3L−4よりL=2。初項も2なので常に2です。

問題：a₁=5, aₙ₊₁=2aₙ−3 の一般項を求めなさい。

解答：aₙ=2ⁿ+3

解説：aₙ−3=2(aₙ₋₁−3)で、a₁−3=2です。

問題：数学的帰納法で、1+2+…+n=n(n+1)/2を証明するとき、kからk+1への式変形の要点を書きなさい。

解答：両辺にk+1を加える

解説：仮定1+…+k=k(k+1)/2にk+1を加え、(k+1)(k+2)/2を作ります。

問題：Σ(k=1からn) 1/{k(k+1)} を求めなさい。

解答：n/(n+1)

解説：1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)と部分分数分解して相殺します。

問題：X〜B(200,0.4)を正規近似するとき、平均と標準偏差を求めなさい。

解答：平均80、標準偏差√48

解説：平均np=80、分散np(1−p)=48です。

問題：仮説p=0.4で標本サイズ100、成功50回の標準化統計量を求めなさい。

解答：5/√6

解説：平均40、標準偏差√24。z=(50−40)/√24=5/√6? ※標準偏差√(100×0.4×0.6)=√24なので10/√24=5/√6です。

問題：独立なX,YでV(X)=2,V(Y)=5のとき、V(3X−2Y)を求めなさい。

解答：38

解説：独立なので9V(X)+4V(Y)=18+20=38です。

問題：信頼係数95%で誤差を3以下にしたい。母標準偏差が12、係数を2とすると必要な標本サイズnを求めなさい。

解答：64以上

解説：2×12/√n≦3より√n≧8、n≧64です。

問題：A,Bを同確率で選ぶ。Aなら成功率1/4、Bなら成功率3/4。成功したときBを選んだ確率を求めなさい。

解答：3/4

解説：(1/2×3/4)/{1/2×1/4+1/2×3/4}=3/4です。