問題：放物線 y²=8x の焦点と準線を求めなさい。

解答：焦点(2,0)、準線x=-2

解説：y²=4pxで4p=8よりp=2です。

問題：楕円 x²/9+y²/4=1 の長軸の長さと短軸の長さを求めなさい。

解答：長軸6、短軸4

解説：a=3、b=2なので長軸2a=6、短軸2b=4です。

問題：双曲線 x²/16-y²/9=1 の漸近線を求めなさい。

解答：y=±(3/4)x

解説：x²/a²-y²/b²=1の漸近線はy=±(b/a)xです。

問題：円 x²+y²-4x+6y-12=0 の中心と半径を求めなさい。

解答：中心(2,-3)、半径5

解説：平方完成して(x-2)²+(y+3)²=25です。

問題：媒介変数表示 x=2t+1，y=3t-2 からtを消去しなさい。

解答：3x-2y-7=0

解説：t=(x-1)/2=(y+2)/3より3x-3=2y+4、3x-2y-7=0です。

問題：x=3cosθ，y=2sinθ が表す曲線を求めなさい。

解答：x²/9+y²/4=1

解説：cos²θ+sin²θ=1を使います。

問題：極方程式 r=4 が表す図形を答えなさい。

解答：原点中心、半径4の円

解説：原点からの距離が常に4の点の集合です。

問題：極座標 (r,θ)=(2,π/3) を直交座標に直しなさい。

解答：(1,√3)

解説：x=r cosθ=1、y=r sinθ=√3です。

問題：直交座標 (-√3,1) を極座標で表しなさい。ただし r>0，0≦θ<2π。

解答：(2,5π/6)

解説：r=2、第2象限でθ=5π/6です。

問題：放物線 x²=12y の焦点を求めなさい。

解答：(0,3)

解説：x²=4pyで4p=12、p=3です。

問題：楕円 x²/25+y²/16=1 の焦点を求めなさい。

解答：(±3,0)

解説：c²=25-16=9よりc=3です。

問題：双曲線 y²/9-x²/16=1 の焦点を求めなさい。

解答：(0,±5)

解説：c²=9+16=25よりc=5。y軸方向です。

問題：放物線 y²=-12x の焦点と準線を求めなさい。

解答：焦点(-3,0)、準線x=3

解説：4p=-12よりp=-3です。

問題：媒介変数表示 x=t²，y=t+1 からtを消去しなさい。

解答：x=(y-1)²

解説：t=y-1なのでx=t²=(y-1)²です。

問題：x=1+2cosθ，y=-3+2sinθ が表す円の中心と半径を求めなさい。

解答：中心(1,-3)、半径2

解説：(x-1)²+(y+3)²=4です。

問題：極方程式 r=6cosθ を直交座標で表しなさい。

解答：(x-3)²+y²=9

解説：r²=6r cosθよりx²+y²=6x。平方完成します。

問題：極方程式 r=4sinθ を直交座標で表しなさい。

解答：x²+(y-2)²=4

解説：r²=4r sinθよりx²+y²=4yです。

問題：楕円 x²/16+y²/7=1 の離心率を求めなさい。

解答：3/4

解説：c²=16-7=9、c=3、a=4よりe=3/4です。

問題：双曲線 x²/9-y²/7=1 の離心率を求めなさい。

解答：4/3

解説：c²=9+7=16、c=4、a=3よりe=4/3です。

問題：放物線 y=x²-4x+7 の頂点を求めなさい。

解答：(2,3)

解説：平方完成してy=(x-2)²+3です。

問題：楕円 x²/a²+y²/b²=1 が点(3,1)を通り、a²=18，b²を求めなさい。

解答：b²=2

解説：9/18+1/b²=1より1/b²=1/2、b²=2です。

問題：双曲線 x²/4-y²/b²=1 が点(4,3)を通る。b²を求めなさい。

解答：3

解説：16/4-9/b²=1より4-9/b²=1。9/b²=3なのでb²=3です。

問題：放物線 y²=4px が点(4,8)を通る。pを求めなさい。

解答：4

解説：64=16pよりp=4です。

問題：円 (x-1)²+(y+2)²=9 と直線 y=x-2 の交点を求めなさい。

解答：(-1,-3)，(4,2)

解説：y=x-2を代入すると(x-1)²+x²=9。2x²-2x-8=0よりx=-1,4。対応するyは-3,2です。

問題：媒介変数 x=t+1/t，y=t-1/t のとき x²-y² を求めなさい。

解答：4

解説：(t+1/t)²-(t-1/t)²=4です。

問題：極方程式 r=2/(1+cosθ) を直交座標に直しなさい。

解答：x²+y²=(2-x)²

解説：r(1+cosθ)=2よりr+x=2、r=2-x。両辺2乗します。

問題：楕円 x²/9+y²/5=1 上の点(3cosθ,√5 sinθ)でθ=π/3の座標を求めなさい。

解答：(3/2,√15/2)

解説：代入するだけです。

問題：双曲線 x²/9-y²/16=1 上の点でx=6かつy>0の点を求めなさい。

解答：(6,4√3)

解説：36/9-y²/16=1よりy²/16=3、y=4√3です。

問題：放物線 y²=16x 上の点(4,8)における接線を求めなさい。

解答：y=x+4

解説：y²=4px,p=4。接線 yy1=2p(x+x1)より8y=8(x+4)、y=x+4です。

問題：楕円 x²/4+y²=1 の接線で、点(√2,1/√2)におけるものを求めなさい。

解答：x/ (2√2)+ y/√2 =1

解説：接線公式 xx1/4+yy1=1より√2 x/4 + y/√2=1です。

問題：楕円 x²/25+y²/9=1 上の点(4,9/5)における接線を求めなさい。

解答：4x/25+y/5=1

解説：接線公式 xx1/25+yy1/9=1より4x/25+(9/5)y/9=1、4x/25+y/5=1です。

問題：双曲線 x²/4-y²/5=1 上の点(3,√5/2)における接線を求めなさい。

解答：3x/4 - y/(2√5)=1

解説：公式 xx1/4-yy1/5=1を使います。

問題：放物線 x²=8y 上の点(4,2)における接線を求めなさい。

解答：x=y+2

解説：x²=4py, p=2。接線 xx1=2p(y+y1)より4x=4(y+2)、x=y+2です。

問題：極方程式 r=1/(1-2cosθ) は二次曲線として何に分類されるか。

解答：双曲線

解説：離心率e=2>1なので双曲線です。

問題：円 x²+y²=4 と楕円 x²/4+y²=1 の共有点を求めなさい。

解答：(±2,0)

解説：楕円式を4倍してx²+4y²=4。円との差で3y²=0、y=0、x=±2です。

問題：媒介変数 x=2t/(1+t²)，y=(1-t²)/(1+t²) が満たす関係式を求めなさい。

解答：x²+y²=1

解説：計算すると分子が(2t)²+(1-t²)²=(1+t²)²になります。

問題：放物線 y²=4x の焦点を通り、傾き1の直線と放物線の交点を求めなさい。

解答：(3+2√2,2+2√2)，(3-2√2,2-2√2)

解説：焦点(1,0)、直線y=x-1。代入して(x-1)²=4x。x=3±2√2、y=x-1です。

問題：楕円 x²/9+y²/4=1 の焦点からの距離の和を求めなさい。

解答：6

解説：楕円上の点から2焦点までの距離の和は2a=6です。

問題：双曲線 x²/16-y²/9=1 の2焦点からの距離の差の絶対値を求めなさい。

解答：8

解説：双曲線では距離の差の絶対値が2a。a=4なので8です。

問題：点(2,1)を通り、円x²+y²=5に接する直線を求めなさい。

解答：2x+y=5

解説：点(2,1)は円上なので、その点での接線は2x+y=5です。