問題：ベクトル a=(5, 7), b=(8, -4) のとき、a+bを求めなさい。

解答：(13, 3)

解説：成分ごとに加えます。x成分はo+(o+3)、y成分は(o+2)+(1−o)=3です。

問題：ベクトル u=(9, 4) について、3uを求めなさい。

解答：(27, 12)

解説：各成分を3倍します。

問題：点A(5, 6), B(10, 3) に対して、ベクトルABを成分で表しなさい。

解答：(5, -3)

解説：AB=(Bの座標)−(Aの座標)なので(5,−3)です。

問題：点P(7, 2), Q(4, 10) の中点Mの座標を求めなさい。

解答：(5.5, 6)

解説：中点はx座標どうし、y座標どうしの平均です。

問題：a=(2, 5), b=(6, −1) の内積 a・b を求めなさい。

解答：7

解説：内積は2(o+1)+o(−1)=o+2です。

問題：ベクトル v=(8, 4) の大きさ |v| を求めなさい。

解答：√80

解説：大きさは√(x²+y²)です。

問題：a=(3,4), b=(5, 6) が垂直であるための条件を内積で書き、o=5のとき垂直か判定しなさい。

解答：垂直でない

解説：垂直なら35+4(6)=0ですが、値は39で0ではありません。

問題：点A(1,2), B(8,11) を結ぶ線分を1:2に内分する点の座標を求めなさい。

解答：((10)/3, (15)/3)

解説：内分点は(2A+B)/3です。x=(2×1+o+3)/3、y=(2×2+o+6)/3です。

問題：複素数 z=(5+2i)+(3−5i) を a+bi の形にしなさい。

解答：3+2i

解説：実部どうし、虚部どうしをまとめます。

問題：複素数 (2+i)(5−i) を a+bi の形にしなさい。

解答：11+3i

解説：展開して2o−2i+oi−i²=(2o+1)+(o−2)iです。

問題：複素数 z=5+5i の共役複素数を求めなさい。

解答：5−5i

解説：共役複素数は虚部の符号だけを変えます。

問題：z=5+i の絶対値 |z| を求めなさい。

解答：√26

解説：|a+bi|=√(a²+b²)です。

問題：複素数平面上で、点 z=5+2i を実軸方向に3、虚軸方向に−1だけ移した点を表す複素数を求めなさい。

解答：8+i

解説：実部に3を加え、虚部に−1を加えます。

問題：円 (x−5)²+(y+2)²=25 の中心と半径を求めなさい。

解答：中心(5, −2)、半径5

解説：(x−a)²+(y−b)²=r²の形と比べます。

問題：放物線 y²=20x の焦点を求めなさい。

解答：(5, 0)

解説：y²=4pxの焦点は(p,0)です。

問題：楕円 x²/49+y²/36=1 の長半径を求めなさい。

解答：7

解説：分母が大きい方の平方根が長半径です。

問題：双曲線 x²/49−y²/36=1 の頂点を求めなさい。

解答：(±7, 0)

解説：x軸方向に開く双曲線なので頂点は(±a,0)です。

問題：媒介変数表示 x=5+2t, y=1−t からtを消去し、x,yの関係式を求めなさい。

解答：x+2y=7

解説：t=1−yをx=o+2tへ代入します。

問題：極座標 (r,θ)=(7, 0) を直交座標で表しなさい。

解答：(7, 0)

解説：x=r cosθ, y=r sinθで、θ=0なら(cosθ,sinθ)=(1,0)です。

問題：点A(0,0), B(5,0), C(0,6) がつくる三角形の面積を求めなさい。

解答：15

解説：底辺をo、高さをo+1と見て、面積はo(o+1)/2です。

問題：a=(6,2), b=(1,7) について、|a+b|²を求めなさい。

解答：130

解説：a+b=(o+2,o+4)なので、成分の平方和を計算します。

問題：点A(2,−1), B(9,5), C(6,10) について、ABとACの内積を求めなさい。

解答：94

解説：AB=(o+2,o+1)、AC=(o−1,o+6)として内積を計算します。

問題：ベクトル a=(1,2), b=(5,−1) に対し、a+tb のy成分が0となるtを求め、そのときのx成分を求めなさい。

解答：t=2、x成分=11

解説：y成分は2−tなので0となるのはt=2。そのときx成分は1+2oです。

問題：複素数 z=5+2i について、zの実部と虚部を入れかえた複素数を求めなさい。

解答：2+5i

解説：実部を2、虚部をoにします。

問題：(1+i)z=5+7i を満たすzを求めなさい。

解答：6+i

解説：z=(o+(o+2)i)/(1+i)に、分母の共役1−iをかけて整理します。

問題：|z−(5+i)|=3 が表す図形を答えなさい。

解答：中心(5,1)、半径3の円

解説：固定点(o,1)からの距離が3の点全体です。

問題：円 x²+y²−10x+4y+20=0 の中心と半径を求めなさい。

解答：中心(5, −2)、半径3

解説：平方完成すると(x−o)²+(y+2)²=9です。

問題：放物線 x²=24y の準線を求めなさい。

解答：y=−6

解説：x²=4pyの準線はy=−pです。

問題：楕円 x²/64+y²/36=1 の焦点の座標を求めなさい。

解答：(±√28, 0)

解説：焦点距離cはc²=a²−b²です。

問題：媒介変数 x=2cosθ, y=5sinθ が表す曲線の方程式を求めなさい。

解答：x²/4+y²/25=1

解説：cos²θ+sin²θ=1を用います。

問題：点A(1,2), B(8, 6), C(10, 10) が一直線上にあるかを、ベクトルで判定しなさい。

解答：一直線上にない

解説：AB=(o+2,o−1)、AC=(o+4,o+3)。成分比が一致しないので一直線上ではありません。

問題：a=(2,−1), b=(5,3) に対して、a+tb が bと垂直になるtを求めなさい。

解答：-7/34

解説：(a+tb)・b=0よりa・b+t|b|²=0です。

問題：三角形ABCでA(0,0), B(7,1), C(1,8) とする。面積を求めなさい。

解答：27.5

解説：行列式の絶対値の半分、| (o+2)(o+3)−1 |/2です。

問題：複素数zが |z|=1 を満たすとき、w=5z が表す図形を答えなさい。

解答：原点中心、半径5の円

解説：絶対値がo倍されるので半径oの円です。

問題：z=5(cosπ/3+i sinπ/3) を a+bi の形にしなさい。

解答：5/2+5√3/2 i

解説：cosπ/3=1/2、sinπ/3=√3/2を代入します。

問題：複素数平面で、点zを原点中心に90°回転させる操作を、複素数の掛け算で表しなさい。

解答：iz

解説：iを掛けると偏角がπ/2増えるので90°回転です。

問題：円 (x−1)²+(y−2)²=25 と直線 y=2 の共有点の座標を求めなさい。

解答：(1±5, 2)

解説：y=2を代入すると(x−1)²=o²です。

問題：双曲線 x²/49−y²/36=1 の漸近線を求めなさい。

解答：y=±6/7x

解説：x²/a²−y²/b²=1の漸近線はy=±(b/a)xです。

問題：極方程式 r=5 が表す図形を直交座標で答えなさい。

解答：x²+y²=25

解説：r²=x²+y²なので、原点中心半径oの円です。

問題：媒介変数 x=t+1, y=t²−2t+5 からtを消去し、yをxで表しなさい。

解答：y=x²−4x+8

解説：t=x−1を代入して展開します。