問題：関数 f(x)=x³ を微分しなさい。

解答：3x²

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：関数 f(x)=5x⁴ を微分しなさい。

解答：20x³

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：関数 f(x)=x²+3x-1 を微分しなさい。

解答：2x+3

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：関数 f(x)=(1/3)x³-2x²+4 を微分しなさい。

解答：x²-4x

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：関数 f(x)=√x を微分しなさい。

解答：1/(2√x)

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(2x) dx を求めなさい。

解答：x²+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(3x²) dx を求めなさい。

解答：x³+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(x²+1) dx を求めなさい。

解答：x³/3+x+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(4x³-2x) dx を求めなさい。

解答：x⁴-x²+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(1/x) dx を求めなさい。

解答：log|x|+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：f(x)=x²-4x+1 の x=3 における接線の傾きを求めなさい。

解答：2

解説：f′(x)=2x-4。f′(3)=2です。

問題：f(x)=x³-3x の x=1 における接線の傾きを求めなさい。

解答：0

解説：f′(x)=3x²-3。f′(1)=0です。

問題：∫₀² x dx を求めなさい。

解答：2

解説：[x²/2]₀²=2です。

問題：∫₁³ 2x dx を求めなさい。

解答：8

解説：[x²]₁³=9-1=8です。

問題：∫₀¹ (3x²+1) dx を求めなさい。

解答：2

解説：[x³+x]₀¹=2です。

問題：f(x)=x²-2x の増減を調べるための導関数を求めなさい。

解答：f′(x)=2x-2

解説：各項を微分します。

問題：f(x)=x²-6x+5 の最小値を求めなさい。

解答：-4

解説：頂点はx=3，値は9-18+5=-4です。

問題：曲線 y=x² 上の x=2 の点における接線を求めなさい。

解答：y=4x-4

解説：点は(2,4)，傾きは2x=4。y-4=4(x-2)です。

問題：曲線 y=x³ 上の x=1 の点における接線を求めなさい。

解答：y=3x-2

解説：点は(1,1)，傾き3。y-1=3(x-1)です。

問題：∫₀² (x²+2x) dx を求めなさい。

解答：20/3

解説：[x³/3+x²]₀²=8/3+4=20/3です。

問題：f(x)=x³-6x²+9x の極値を求めなさい。

解答：x=1で極大値4，x=3で極小値0

解説：f′=3(x-1)(x-3)。符号変化より判定します。

問題：f(x)=x³-3x²-9x+1 の極値を求めなさい。

解答：x=-1で極大値6，x=3で極小値-26

解説：f′=3x²-6x-9=3(x+1)(x-3)です。

問題：曲線 y=x² と直線 y=2x で囲まれる部分の面積を求めなさい。

解答：4/3

解説：交点はx=0,2。∫₀²(2x-x²)dx=4/3です。

問題：曲線 y=x² と直線 y=x+2 で囲まれる部分の面積を求めなさい。

解答：9/2

解説：交点はx=-1,2。∫_{-1}^2(x+2-x²)dx=9/2です。

問題：f(x)=x³+ax²+bx が x=1で極大，x=3で極小をもつとき，a，b を求めなさい。

解答：a=-6，b=9

解説：f′=3x²+2ax+b が x=1,3を解にもつので3(x-1)(x-3)と比較します。

問題：f(x)=x³-3x²+2 の区間 0≦x≦3 における最大値と最小値を求めなさい。

解答：最大値2，最小値-2

解説：端点と f′=3x(x-2) の候補 x=0,2,3 を調べます。

問題：∫₁² (2x³-3x²+1) dx を求めなさい。

解答：3/2

解説：原始関数は x⁴/2-x³+x。2と1を代入します。

問題：曲線 y=4-x² と x軸で囲まれる部分の面積を求めなさい。

解答：32/3

解説：交点はx=±2。∫_{-2}^2(4-x²)dx=32/3です。

問題：f′(x)=6x-4，f(1)=3 のとき，f(x)を求めなさい。

解答：f(x)=3x²-4x+4

解説：積分して f=3x²-4x+C。f(1)=3より C=4です。

問題：f′(x)=3x²-2x，f(0)=5 のとき，f(2)を求めなさい。

解答：9

解説：f=x³-x²+5。f(2)=8-4+5=9です。

問題：曲線 y=x³-3x と x軸で囲まれる2つの部分の面積の和を求めなさい。

解答：9/2

解説：交点は -√3,0,√3。奇関数の対称性より 2∫₀^{√3}(3x-x³)dx=9/2です。

問題：f(x)=x³-3ax²+4 が x=2 で極値をもつとき，a を求めなさい。

解答：a=1

解説：f′=3x²-6ax。f′(2)=12-12a=0より a=1です。

問題：曲線 y=x² と y=-x²+4 で囲まれる部分の面積を求めなさい。

解答：16√2/3

解説：交点はx=±√2。∫_{-√2}^{√2}(4-2x²)dx=16√2/3 です。

問題：区間 0≦x≦2 で f(x)=x³-3x の最大値と最小値を求めなさい。

解答：最大値2，最小値-2

解説：候補 x=0,1,2。値は0,-2,2です。

問題：曲線 y=x²-1 と x軸，直線 x=0，x=2 で囲まれる部分の符号付き面積 ∫₀²(x²-1)dx を求めなさい。

解答：2/3

解説：[x³/3-x]₀²=8/3-2=2/3です。

問題：放物線 y=x²-4x+3 と x軸で囲まれる部分の面積を求めなさい。

解答：4/3

解説：交点1,3。∫₁³{0-(x²-4x+3)}dx=4/3です。

問題：f(x)=x³+px+q が x=1 で接線 y=3x-1 をもつとき，p，q を求めなさい。

解答：p=0，q=1

解説：f(1)=2，f′(1)=3。f′=3x²+pより p=0，1+p+q=2より q=1です。

問題：曲線 y=x² 上の点 (a,a²) における接線が点 (1,-1) を通るとき，a を求めなさい。

解答：a=1±√2

解説：接線は y=2a x-a²。点を代入して -1=2a-a²，a²-2a-1=0です。

問題：f(x)=x³-3x²+k が x=0 と x=2 で同じ値をとるとき，正しいか判定しなさい。

解答：常に同じではない

解説：f(0)=k，f(2)=8-12+k=k-4。等しくないので条件を満たすkはありません。

問題：∫₀¹ {f′(x)} dx=5，f(0)=2 のとき，f(1)を求めなさい。

解答：7

解説：微分積分の基本定理より f(1)-f(0)=5。よって f(1)=7です。