問題：次の恒等式が成り立つように，定数 a，b を求めなさい。
x²+5x+6=(x+a)(x+b)，ただし a≦b とする。

解答：a=2，b=3

解説：展開すると x²+(a+b)x+ab です。a+b=5，ab=6より a=2，b=3 です。

問題：次の式を展開し，整理しなさい。
(2x-3)(x²+3x+9)

解答：2x³+3x²+9x-27

解説：分配法則で 2x³+6x²+18x-3x²-9x-27 とし，同類項をまとめます。

問題：次の式を因数分解しなさい。
x³-8

解答：(x-2)(x²+2x+4)

解説：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) を使います。

問題：次の式を因数分解しなさい。
8x³+27

解答：(2x+3)(4x²-6x+9)

解説：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) を使います。

問題：x²-4x+7 を平方完成しなさい。

解答：(x-2)²+3

解説：x²-4x=(x-2)²-4 なので，+7を合わせて (x-2)²+3 です。

問題：2x²+6x+1 を平方完成しなさい。

解答：2(x+3/2)²-7/2

解説：2(x²+3x)+1=2{(x+3/2)²-9/4}+1 です。

問題：次の等式を証明しなさい。
(a+b)²-(a-b)²=4ab

解答：左辺を展開して4ab

解説：左辺は a²+2ab+b²-(a²-2ab+b²)=4ab となり，右辺に等しいです。

問題：方程式 x²+4x+7=0 を解きなさい。

解答：x=-2±√3 i

解説：平方完成して (x+2)²=-3 より x=-2±√3 i です。

問題：方程式 x²-2x+5=0 を解きなさい。

解答：x=1±2i

解説：判別式は -16。解の公式より x=(2±4i)/2=1±2i です。

問題：方程式 2x²-4x+5=0 を解きなさい。

解答：x=1±(√6/2)i

解説：解の公式より x=(4±√(-24))/4=1±(√6/2)i です。

問題：複素数 (3+2i)+(1-5i) を計算しなさい。

解答：4-3i

解説：実部どうし，虚部どうしを加えます。

問題：複素数 (4-3i)-(2+i) を計算しなさい。

解答：2-4i

解説：実部は4-2，虚部は-3-1です。

問題：複素数 (2+i)(3-4i) を計算しなさい。

解答：10-5i

解説：6-8i+3i-4i²=10-5i です。

問題：複素数 (1+2i)² を計算しなさい。

解答：-3+4i

解説：1+4i+4i²=-3+4i です。

問題：2点 A(1,2)，B(5,4) の中点を求めなさい。

解答：(3,3)

解説：中点は ((1+5)/2,(2+4)/2)=(3,3) です。

問題：2点 A(-2,3)，B(4,-5) 間の距離を求めなさい。

解答：10

解説：距離は √{6²+(-8)²}=10 です。

問題：点 (2,-1) を通り，傾き3の直線の方程式を求めなさい。

解答：y=3x-7

解説：y+1=3(x-2) より y=3x-7 です。

問題：直線 2x-3y+6=0 の傾きを求めなさい。

解答：2/3

解説：y=(2/3)x+2 と変形します。

問題：2直線 y=2x+1，y=-1/2x+3 の関係を答えなさい。

解答：垂直

解説：傾きの積が 2×(-1/2)=-1 なので垂直です。

問題：直線 3x+4y-12=0 と原点との距離を求めなさい。

解答：12/5

解説：距離公式 | -12 |/√(3²+4²)=12/5 です。

問題：点 (1,2) と直線 x-2y+3=0 の距離を求めなさい。

解答：0

解説：1-4+3=0 なので点は直線上にあり距離は0です。

問題：sin30° の値を求めなさい。

解答：1/2

解説：単位円上の代表角の値を用います。

問題：cos60° の値を求めなさい。

解答：1/2

解説：単位円上の代表角の値を用います。

問題：tan45° の値を求めなさい。

解答：1

解説：単位円上の代表角の値を用います。

問題：sin120° の値を求めなさい。

解答：√3/2

解説：単位円上の代表角の値を用います。

問題：cos150° の値を求めなさい。

解答：-√3/2

解説：単位円上の代表角の値を用います。

問題：tan135° の値を求めなさい。

解答：-1

解説：単位円上の代表角の値を用います。

問題：0≦θ<2π，sinθ=1/2 を満たす θ を求めなさい。

解答：θ=π/6，5π/6

解説：sinが正で基準角π/6なので第1・第2象限です。

問題：関数 f(x)=x³ を微分しなさい。

解答：3x²

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：関数 f(x)=5x⁴ を微分しなさい。

解答：20x³

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：関数 f(x)=x²+3x-1 を微分しなさい。

解答：2x+3

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：関数 f(x)=(1/3)x³-2x²+4 を微分しなさい。

解答：x²-4x

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：関数 f(x)=√x を微分しなさい。

解答：1/(2√x)

解説：べき関数の微分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(2x) dx を求めなさい。

解答：x²+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(3x²) dx を求めなさい。

解答：x³+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(x²+1) dx を求めなさい。

解答：x³/3+x+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(4x³-2x) dx を求めなさい。

解答：x⁴-x²+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：不定積分 ∫(1/x) dx を求めなさい。

解答：log|x|+C

解説：基本的な積分公式を用います。

問題：f(x)=x²-4x+1 の x=3 における接線の傾きを求めなさい。

解答：2

解説：f′(x)=2x-4。f′(3)=2です。

問題：f(x)=x³-3x の x=1 における接線の傾きを求めなさい。

解答：0

解説：f′(x)=3x²-3。f′(1)=0です。