問題：lim[x→0] sin7x/x を求めなさい。

解答：7

解説：基本極限を使います。

問題：lim[x→∞] (4x³-x)/(2x³+5) を求めなさい。

解答：2

解説：最高次の係数比です。

問題：y=(x²+1)⁵ の導関数を求めなさい。

解答：10x(x²+1)⁴

解説：合成関数の微分です。

問題：y=log(3x+1) の導関数を求めなさい。

解答：3/(3x+1)

解説：log uの微分です。

問題：y=e^x sinx の導関数を求めなさい。

解答：e^x(sinx+cosx)

解説：積の微分です。

問題：y=x³-6x の極値を求めなさい。

解答：x=-√2で極大4√2，x=√2で極小-4√2

解説：導関数3x²-6で判定します。

問題：y=1/x のx=1での接線を求めなさい。

解答：y=-x+2

解説：点(1,1)、傾き-1です。

問題：lim[x→0](e^(2x)-1)/sinx を求めなさい。

解答：2

解説：分子≈2x、分母≈xです。

問題：y=x^x の導関数を求めなさい。

解答：x^x(logx+1)

解説：対数微分を使います。

問題：f(x)=|x-1|はx=1で微分可能か。

解答：微分可能でない

解説：左右の微分係数が一致しません。

問題：∫(4x³-2x+1)dx を求めなさい。

解答：x⁴-x²+x+C

解説：項別に積分します。

問題：∫[0→3] x dx を求めなさい。

解答：9/2

解説：x²/2に代入します。

問題：∫e^(-2x)dx を求めなさい。

解答：-(1/2)e^(-2x)+C

解説：指数の係数で割ります。

問題：∫[0→π/2] cosx dx を求めなさい。

解答：1

解説：sinxを評価します。

問題：∫x/(x²+1)dx を求めなさい。

解答：(1/2)log(x²+1)+C

解説：置換積分です。

問題：∫[0→1] 1/(x+2)dx を求めなさい。

解答：log(3/2)

解説：log(x+2)を評価します。

問題：∫x cosx dx を求めなさい。

解答：xsinx+cosx+C

解説：部分積分です。

問題：∫[0→π/2] cos²x dx を求めなさい。

解答：π/4

解説：半角公式を使います。

問題：∫1/(x²+4)dx を求めなさい。

解答：(1/2)arctan(x/2)+C

解説：標準形に直します。

問題：∫[0→∞] e^(-3x)dx を求めなさい。

解答：1/3

解説：広義積分として評価します。

問題：lim[x→0](tan2x-sin2x)/x³ を求めなさい。

解答：4

解説：tan2x-sin2x≈(2x)³/2=4x³です。

問題：曲線 y=x³-3x の接線で傾き0のものを求めなさい。

解答：y=2，y=-2

解説：x=±1で傾き0です。

問題：方程式 x³-3x+a=0 が異なる3実数解をもつaの範囲を求めなさい。

解答：-2

解説：極大2+a、極小-2+aの符号条件です。

問題：∫[0→1] x log(1+x)dx を求めなさい。

解答：1/4

解説：部分積分で計算します。

問題：y=x²とy=2xで囲まれる面積を求めなさい。

解答：4/3

解説：交点0,2で直線が上です。

問題：y=√x, 0≦x≦1のx軸回転体の体積を求めなさい。

解答：π/2

解説：π∫[0→1]x dxです。

問題：陰関数 x²+y²=10 の点(1,3)での接線を求めなさい。

解答：x+3y=10

解説：円の接線公式です。

問題：y=logx/x (x>0) の極値を求めなさい。

解答：x=eで最大1/e

解説：導関数(1-logx)/x²で判定します。

問題：∫[0→π] xcosx dx を求めなさい。

解答：-2

解説：部分積分で評価します。

問題：lim[x→0]{log(1+2x)-2x}/x² を求めなさい。

解答：-2

解説：log(1+2x)=2x-2x²+…です。

問題：lim[x→0](sinx/x)^(1/x²) を求めなさい。

解答：e^(-1/6)

解説：対数をとり log(sinx/x)≈-x²/6 を使います。

問題：y=e^xとy=ax+bがx=0で2次の接触をするようにa,bを求めなさい。

解答：a=1，b=1

解説：値と1階微分を一致させます。

問題：f(x)=x³+ax²+bx がx=1で極大、x=2で極小をもつ。a,bを求めなさい。

解答：a=-9/2，b=6

解説：f′=3(x-1)(x-2)と係数比較します。

問題：∫[0→1] 1/(x²+2x+2) dx を求めなさい。

解答：π/4

解説：(x+1)²+1としてarctanを使います。

問題：y=x²とy=2-x²で囲まれる面積を求めなさい。

解答：8/3

解説：交点はx=±1。面積は∫[-1→1]{(2-x²)-x²}dx=8/3です。

問題：曲線 y=x³ の接線が点(0,2)を通るとき接線を求めなさい。

解答：y=3x+2

解説：接点t=-1。接線はy=3x+2です。

問題：∫[0→∞] 1/(1+x²) dx を求めなさい。

解答：π/2

解説：arctanxを∞まで評価します。

問題：y=sinx, 0≦x≦πをx軸回転した体積を求めなさい。

解答：π²/2

解説：π∫sin²x dxです。

問題：lim[n→∞] n{(1+1/n)^n-e} の収束値を述べなさい。

解答：-e/2

解説：展開 (1+1/n)^n=e(1-1/(2n)+…)を用います。

問題：0

解答：等号はx=1

解説：x-1-logxの最小値が0であることを微分で示します。