問題：10人から会長1人、書記1人、会計1人を選ぶ方法は何通りか。

解答：720通り

解説：役職が異なるので順列で数える。人数を順に掛ける。

問題：0,1,2,3,4,5,6から異なる2個を使って2けたの整数を作る。何通りか。

解答：36通り

解説：十の位は0以外で6通り、一の位は残り6通りなので36通り。

問題：13人の中から4人を選ぶ方法は何通りか。

解答：715通り

解説：代表は順序を区別しないので組合せで数える。

問題：A,B,C,D,Eを一列に並べるとき、Aが左端にくる並べ方は何通りか。

解答：24通り

解説：Aを左端に固定し、残り4人を並べるので4!=24。

問題：硬貨を4枚投げる。表がちょうど1枚出る確率を求めなさい。

解答：1/4

解説：全体は2⁴=16通り。表1枚は4C1=4通りなので4/16=1/4。

問題：さいころを2個投げる。目の積が偶数になる確率を求めなさい。

解答：3/4

解説：積が奇数になるのは両方奇数の3×3=9通り。よって1-9/36=3/4。

問題：132を素因数分解しなさい。

解答：2^2×3×11

解説：132を素数で割っていくと2^2×3×11となる。

問題：54と81の最大公約数を求めなさい。

解答：27

解説：共通して割り切れる最大の整数は27。

問題：整数nについて、連続する3つの整数の和をnから始めて表しなさい。

解答：3n+3

解説：n,n+1,n+2の和は3n+3。

問題：1から110までの整数のうち、10の倍数は何個あるか。

解答：11個

解説：110÷10の整数部分を数える。

問題：男子3人、女子4人から2人を選ぶ。少なくとも1人が女子である選び方は何通りか。

解答：18通り

解説：全体7C2=21、男子だけ3C2=3。21-3=18。

問題：A,B,C,D,E,Fを円形に並べる。回転を同じとすると何通りか。

解答：120通り

解説：円順列なので(6-1)!=120。

問題：同じ文字を含む SUCCESS の7文字を並べる方法は何通りか。

解答：420通り

解説：Sが3個、Cが2個なので7!/(3!2!)=420。

問題：赤3個、白4個、青3個から2個同時に取り出す。2個の色が異なる確率を求めなさい。

解答：11/15

解説：全体10C2=45。同色は3C2+4C2+3C2=12。異色は33通りで33/45=11/15。

問題：さいころを2回投げる。少なくとも1回は3以下の目が出る確率を求めなさい。

解答：3/4

解説：3以下が出ないのは4,5,6だけで3×3=9通り。1-9/36=3/4。

問題：1から80までの整数で、6で割ると4余る数は何個あるか。

解答：13個

解説：4,10,...,76の等差数列。4+6k≦80よりk=0〜12。

問題：210の正の約数の個数を求めなさい。

解答：16個

解説：210=2×3×5×7。約数の個数は2⁴=16。

問題：48と180の最小公倍数を求めなさい。

解答：720

解説：48=2⁴×3、180=2²×3²×5。最大指数を集めて720。

問題：2けたの自然数で、十の位が一の位より3大きいものはいくつあるか。

解答：7個

解説：一の位をbとすると十の位はb+3。b=0,1,...,6の7通り。

問題：自然数nについて、奇数の一般形を表しなさい。

解答：2n-1

解説：自然数nに対し1,3,5,...は2n-1で表せる。

問題：A,B,C,D,E,F,Gを並べるとき、AとBが隣り合わない並べ方は何通りか。

解答：3600通り

解説：全体7!=5040。A,Bが隣り合うのは6!×2=1440。よって5040-1440=3600。

問題：0,1,2,3,4,5から異なる4個を使って4けたの奇数を作る。何通りか。

解答：144通り

解説：一の位は1,3,5の3通り。千の位は0と一の位以外で4通り。残り2桁は4P2=12通り。3×4×12=144。

問題：8人をA組3人、B組3人、C組2人に分ける方法は何通りか。ただし組名は区別する。

解答：560通り

解説：8C3×5C3×2C2=56×10=560。

問題：5本の平行線と4本の平行線が互いに交わるとき、できる平行四辺形は何個か。

解答：60個

解説：一方から2本、他方から2本を選ぶので5C2×4C2=10×6=60。

問題：袋に赤5個、白5個がある。同時に4個取り出すとき、赤と白が同数である確率を求めなさい。

解答：10/21

解説：全体10C4=210。赤2白2は5C2×5C2=100。100/210=10/21。

問題：さいころを3個投げる。目の和が10になる確率を求めなさい。

解答：1/8

解説：和10の正整数解を数えると27通り。全体216通りなので27/216=1/8。

問題：1260の正の約数のうち、偶数であるものは何個か。

解答：24個

解説：1260=2²×3²×5×7。偶数約数は2の指数が1または2で2通り、他は3×2×2通り。合計24。

問題：5で割ると2余り、7で割ると3余る100以下の正の整数をすべて求めなさい。

解答：17,52,87

解説：n=5a+2。7で見ると5a+2≡3より5a≡1、a≡3。n=17+35kで100以下は17,52,87。

問題：n²−nが常に偶数であることを説明しなさい。

解答：連続する2整数の積だから偶数

解説：n²−n=n(n−1)。連続する整数の一方は偶数なので積は偶数。

問題：1から300までの整数で、3の倍数でも4の倍数でもない数は何個か。

解答：150個

解説：3の倍数100個、4の倍数75個、12の倍数25個。3または4の倍数は150個なので、残り150個。

問題：男子4人女子4人を円形に座らせる。男女が交互になる座り方は何通りか。

解答：144通り

解説：男子を円順列で(4-1)!=6通りに置き、空いた4か所に女子を4!通りで置く。6×24=144。

問題：A,B,C,D,E,Fを一列に並べる。AがBより左、かつCがDより左にある並べ方は何通りか。

解答：180通り

解説：全体6!=720。A,Bの順序で半分、C,Dの順序でさらに半分なので720/4=180。

問題：9個の点のうち4点だけが一直線上にあり、他に3点が一直線上にない。これらを頂点とする三角形は何個か。

解答：80個

解説：全体9C3=84。一直線上の4点から選ぶ4C3=4組は三角形でない。84-4=80。

問題：赤4個、白3個、青3個から5個取り出す。3色すべてが含まれる確率を求めなさい。

解答：17/21

解説：全体10C5=252。3色すべて含まれない場合は2色以下。赤白のみ7C5=21、赤青のみ7C5=21、白青のみ6C5=6。合計48。よって204/252=17/21。

問題：さいころを4回投げる。最大の目が5である確率を求めなさい。

解答：369/1296

解説：すべて5以下は5⁴、すべて4以下は4⁴。差は625-256=369。全体6⁴=1296。

問題：整数nを11で割ると7余る。3n²+2n+1を11で割った余りを求めなさい。

解答：8

解説：n≡7より3n²+2n+1≡3×49+14+1=162≡8 (mod 11)。

問題：正の整数a,bでab=600、最大公約数が10である組(a,b)をすべて求めなさい。ただしa

解答：(10,60)

解説：a=10m,b=10n、gcd(m,n)=1、mn=6。互いに素な因数分けでa

問題：1から500までの整数のうち、2,3,5のどれでも割り切れない数は何個か。

解答：134個

解説：包除原理で500-(250+166+100)+(83+50+33)-16=134。

問題：10個の異なる品物から4個選ぶ。ただし特定の2個A,Bを同時には選ばない方法は何通りか。

解答：182通り

解説：全体10C4=210。A,Bを同時に含む場合は残り8個から2個選ぶので8C2=28。210-28=182。

問題：0,1,2,3,4,5,6を1回ずつ使う7けたの整数のうち、5の倍数は何個か。

解答：1320通り

解説：一の位0なら残り6!=720。一の位5なら先頭は0不可で5通り、残り5!=120。720+600=1320。