問題：ベクトルa=(5,-1)，b=(-2,3)についてa・bを求めなさい。

解答：-13

解説：5×(-2)+(-1)×3=-13です。

問題：複素数4-3iの絶対値を求めなさい。

解答：5

解説：√(16+9)=5です。

問題：放物線y²=20xの焦点を求めなさい。

解答：(5,0)

解説：4p=20よりp=5です。

問題：A(-1,4)，B(5,-2)を2:1に内分する点を求めなさい。

解答：(3,0)

解説：(A+2B)/3=(3,0)です。

問題：i²⁰²⁶を求めなさい。

解答：-1

解説：2026≡2 mod 4なのでi²=-1です。

問題：楕円x²/64+y²/39=1の焦点を求めなさい。

解答：(±5,0)

解説：c²=64-39=25です。

問題：空間の2点A(1,1,1)，B(4,5,1)間の距離を求めなさい。

解答：5

解説：√(3²+4²+0²)=5です。

問題：極方程式r=3が表す図形を答えなさい。

解答：原点中心半径3の円

解説：原点からの距離が3です。

問題：(1-2i)+(3+5i)を計算しなさい。

解答：4+3i

解説：実部と虚部を足します。

問題：双曲線x²/36-y²/64=1の漸近線を求めなさい。

解答：y=±(4/3)x

解説：a=6,b=8なので±b/aです。

問題：a=(2,3)，b=(6,9)の関係を述べなさい。

解答：平行で同じ向き

解説：b=3aです。

問題：(2-i)/(1+i)をa+biの形にしなさい。

解答：1/2-3/2i

解説：分母分子に1-iをかけます。

問題：円x²+y²-10x+4y+20=0の中心と半径を求めなさい。

解答：中心(5,-2)、半径3

解説：平方完成します。

問題：A(0,0,0)，B(2,2,1)，C(1,-1,3)の重心を求めなさい。

解答：(1,1/3,4/3)

解説：座標の平均です。

問題：z=2+2√3iの偏角を求めなさい。

解答：π/3

解説：第1象限でtanθ=√3です。

問題：x=5cosθ，y=3sinθが表す曲線を求めなさい。

解答：x²/25+y²/9=1

解説：cos²+sin²=1です。

問題：a=(1,2,2)，b=(2,2,-3)が垂直か判定しなさい。

解答：垂直である

解説：内積2+4-6=0です。

問題：|z-4|=|z+2|が表す直線をx,yで求めなさい。

解答：x=1

解説：点4と-2の垂直二等分線です。

問題：双曲線y²/4-x²/5=1の焦点を求めなさい。

解答：(0,±3)

解説：c²=4+5=9です。

問題：点(3,4)を極座標で表しなさい。ただし0≦θ<2π。

解答：(5, arctan(4/3))

解説：r=5、第1象限です。

問題：A(1,1)，B(7,3)，C(2,6)の三角形の面積を求めなさい。

解答：14

解説：AB=(6,2)、AC=(1,5)。面積は|6×5-2×1|/2=28/2=14です。

問題：z=√3-iの6乗を求めなさい。

解答：-64

解説：z=2(cos(-π/6)+i sin(-π/6))。6乗は64(cos(-π)+i sin(-π))=-64です。

問題：楕円x²/25+y²/16=1上の点(3,16/5)における接線を求めなさい。

解答：3x/25+y/5=1

解説：公式xx1/25+yy1/16=1です。

問題：平面3x-y+2z=4と点(1,2,5)の距離を求めなさい。

解答：7/√14

解説：|3-2+10-4|/√14=7/√14です。

問題：z³=27iの解のうち偏角が最も小さい正のものを1つ求めなさい。

解答：3(cosπ/6+i sinπ/6)

解説：27iは偏角π/2。3乗根の偏角はπ/6,5π/6,3π/2です。

問題：放物線x²=12y上の点(6,3)における接線を求めなさい。

解答：x=y+3

解説：4p=12,p=3。接線xx1=2p(y+y1)より6x=6(y+3)、x=y+3です。

問題：a=(4,1)，b=(1,-2)。|a+tb|²が最小となるtを求めなさい。

解答：-2/5

解説：a・b=2、b・b=5よりt=-2/5です。

問題：|z|=1のとき、z+共役zの最大値を求めなさい。

解答：2

解説：z=cosθ+i sinθならz+共役z=2cosθです。

問題：媒介変数x=t+2，y=t²で表される曲線を求めなさい。

解答：y=(x-2)²

解説：t=x-2です。

問題：直線(1,0,2)+t(2,3,1)と平面x-y+z=6の交点があるか判定しなさい。

解答：交点なし

解説：代入すると(1+2t)-3t+(2+t)=3で一定。6にならないので平行で交点なしです。

問題：A(0,0)，B(8,0)，C(2,4)の外心を求めなさい。

解答：(4,0)

解説：ABの垂直二等分線はx=4。A,Cから等距離で計算するとy=0です。

問題：z²-(3+i)z+(2+2i)=0を解きなさい。

解答：z=1+i，2

解説：和3+i、積2+2iです。

問題：極方程式r=10sinθを直交座標の方程式に直しなさい。

解答：x²+(y-5)²=25

解説：r²=10r sinθよりx²+y²=10yです。

問題：A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，D(2,2,3)の四面体ABCDの体積を求めなさい。

解答：5

解説：AB=(-1,2,0), AC=(-1,0,3), AD=(1,2,3)。スカラー三重積の絶対値は30、体積は5です。

問題：双曲線x²/4-y²/12=1の離心率を求めなさい。

解答：2

解説：c²=16,c=4,a=2なのでe=2です。

問題：点zが|z-1|=2上を動くとき、w=izの軌跡を求めなさい。

解答：|w-i|=2

解説：z=-iwなので|-iw-1|=2。両辺は|w-i|=2に同値です。

問題：放物線y²=8xの焦点を通り、傾き2の直線と放物線の交点を求めなさい。

解答：(3+√5,2+2√5)，(3-√5,2-2√5)

解説：焦点(2,0)、直線y=2x-4。代入して(2x-4)²=8x、x²-6x+4=0。x=3±√5、y=2x-4です。

問題：ベクトルa=(1,1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,0,1)が一次独立か判定しなさい。

解答：一次独立

解説：行列式は2で0でないため一次独立です。

問題：arg((z-i)/(z+i))=π/2が表す図形を説明しなさい。

解答：点iと-iを直径の端点とする円の一部

解説：2点を見込む角が90°の点の集合です。

問題：楕円x²/9+y²/4=1と直線y=1の交点を求めなさい。

解答：(±(3√3)/2,1)

解説：x²/9+1/4=1よりx²/9=3/4。x=±3√3/2です。