問題：84と126の最大公約数を求めなさい。

解答：42

解説：84=2×42，126=3×42より最大公約数は42です。

問題：18と30の最小公倍数を求めなさい。

解答：90

解説：18=2×3²，30=2×3×5なので最小公倍数は2×3²×5=90です。

問題：144を素因数分解しなさい。

解答：2⁴×3²

解説：144=16×9=2⁴×3²です。

問題：約数の個数が6個である自然数12の約数をすべて書きなさい。

解答：1,2,3,4,6,12

解説：12を割り切る正の整数を小さい順に並べます。

問題：整数aを5で割ると2余る。a+8を5で割った余りを求めなさい。

解答：0

解説：a≡2 (mod 5)，a+8≡10≡0です。

問題：7で割ると3余る整数と，7で割ると5余る整数の和を7で割った余りを求めなさい。

解答：1

解説：3+5=8≡1 (mod 7)です。

問題：2つの整数m,nについて，mが偶数，nが奇数のとき，m+nの偶奇を答えなさい。

解答：奇数

解説：偶数+奇数=奇数です。

問題：15と28が互いに素であることを説明しなさい。

解答：共通する素因数をもたないから

解説：15=3×5，28=2²×7で共通素因数がありません。

問題：1から100までの整数のうち，平方数はいくつあるか。

解答：10個

解説：1²から10²までの10個です。

問題：360の正の約数の個数を求めなさい。

解答：24個

解説：360=2³×3²×5なので(3+1)(2+1)(1+1)=24です。

問題：48と180の最大公約数をユークリッドの互除法で求めなさい。

解答：12

解説：180=48×3+36，48=36×1+12，36=12×3より12です。

問題：整数xについて，3x+2が偶数となるとき，xの偶奇を答えなさい。

解答：偶数

解説：3x+2の偶奇はxと同じなので，偶数にするにはxが偶数です。

問題：nを整数とするとき，n²+nが偶数であることを説明しなさい。

解答：連続する2整数の積だから偶数

解説：n²+n=n(n+1)。連続する2整数の一方は偶数です。

問題：5で割ると1余る整数の平方を5で割った余りを求めなさい。

解答：1

解説：a≡1ならa²≡1です。

問題：素数pが偶数であるとき，pを求めなさい。

解答：2

解説：偶数の素数は2だけです。

問題：1から60までの整数で，60と互いに素なものの個数を求めなさい。

解答：16個

解説：60=2²×3×5なので60(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=16です。

問題：8で割ると3余る整数を2倍した数を8で割った余りを求めなさい。

解答：6

解説：2×3=6です。

問題：整数x,yがともに奇数のとき，xy+x+yの偶奇を答えなさい。

解答：奇数

解説：奇数×奇数+奇数+奇数=奇数です。

問題：72の正の約数の総和を求めなさい。

解答：195

解説：72=2³×3²。約数の和は(1+2+4+8)(1+3+9)=15×13=195です。

問題：2桁の自然数で，十の位と一の位の和が9，かつ9の倍数であるものは何個あるか。

解答：9個

解説：各位の和が9なら9の倍数。十の位1〜9で一の位が決まるので9個です。

問題：整数nについて，n²を4で割った余りは0または1であることを説明しなさい。

解答：nが偶数なら0，奇数なら1

解説：偶数n=2kならn²=4k²，奇数n=2k+1ならn²=4k(k+1)+1です。

問題：108と180の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

解答：最大公約数36，最小公倍数540

解説：108=2²×3³，180=2²×3²×5です。

問題：x+y=35，xとyの最大公約数が5で，x<yである正の整数組をすべて求めなさい。

解答：(5,30),(10,25),(15,20)のうち最大公約数5は(5,30),(10,25)

解説：5でくくりx=5a,y=5b。a+b=7，gcd(a,b)=1，a<bより(1,6),(2,5)です。

問題：自然数nについて，12nが平方数となる最小のnを求めなさい。

解答：3

解説：12=2²×3なので，3をもう1つ掛ければ2²×3²になります。

問題：3で割ると2余り，5で割ると1余る2桁の自然数のうち最小のものを求めなさい。

解答：11

解説：条件を満たす数を確認すると11が最小です。

問題：7で割ると4余り，9で割ると4余る自然数のうち，100以下で最大のものを求めなさい。

解答：67

解説：両方で4余るので63の倍数+4。100以下最大は67です。

問題：整数xについて，2x≡6 (mod 10) を満たすxの余りを10で分類しなさい。

解答：x≡3 または 8 (mod 10)

解説：2xを10で割った余りが6になるのはxの余りが3,8のときです。

問題：pを3より大きい素数とするとき，p²を12で割った余りを求めなさい。

解答：1

解説：pは2,3で割れない奇数。p²は8で1，3で1となり12で1余ります。

問題：2つの自然数の最大公約数が6，最小公倍数が180である。積を求めなさい。

解答：1080

解説：2数の積=最大公約数×最小公倍数=6×180です。

問題：a,bが互いに素で，abが偶数であるとき，a,bの偶奇についていえることを述べなさい。

解答：どちらか一方だけが偶数

解説：abが偶数なので少なくとも一方は偶数。互いに素なので両方偶数は不可です。

問題：正の約数の個数が奇数個である自然数の特徴を述べなさい。

解答：平方数である

解説：約数は通常ペアになるが，平方数だけ平方根が1つ重なります。

問題：2026を素因数分解しなさい。

解答：2×1013

解説：2026=2×1013で，1013は素数です。

問題：整数nについて，n³−nが6の倍数であることを説明しなさい。

解答：連続する3整数の積だから

解説：n³−n=n(n-1)(n+1)。連続する3整数の積は2でも3でも割り切れます。

問題：2^20を3で割った余りを求めなさい。

解答：1

解説：2≡-1 (mod 3)なので2^20≡1です。

問題：5^12を7で割った余りを求めなさい。

解答：1

解説：5^6≡1 (mod 7)なので5^12≡1です。

問題：1から1000までの整数のうち，約数をちょうど3個もつものの個数を求めなさい。

解答：11個

解説：約数3個の数は素数の2乗。p²≤1000よりp≤31，素数は11個です。

問題：x²−y²=45を満たす正の整数x,yをすべて求めなさい。

解答：(23,22),(9,6),(7,2)

解説：(x-y)(x+y)=45。正の因数ペア(1,45),(3,15),(5,9)から求めます。

問題：1から200までの整数で，平方数でも立方数でもあるものをすべて求めなさい。

解答：1,64

解説：平方数かつ立方数は6乗数。1^6=1，2^6=64，3^6=729です。

問題：3つの連続する整数の和が6の倍数になる条件を述べなさい。

解答：中央の整数が偶数であること

解説：連続整数をn-1,n,n+1とすると和は3n。6の倍数にはnが偶数である必要があります。

問題：自然数nで，n! が100で割り切れる最小のnを求めなさい。

解答：10

解説：100=2²×5²。5の因数が2個必要で，10!で5と10から2個得られます。