問題：a=(3,1)，b=(-2,4) のとき、3a+2bを求めなさい。

解答：(5,11)

解説：3a=(9,3)、2b=(-4,8)なので和は(5,11)です。

問題：複素数 z=-2-2√3 i の絶対値と偏角の主値を求めなさい。

解答：4，-2π/3

解説：絶対値4、第3象限で基準角π/3なので主値は-2π/3です。

問題：楕円 x²/36+y²/20=1 の焦点を求めなさい。

解答：(±4,0)

解説：c²=36-20=16よりc=4です。

問題：A(2,-3)，B(-4,5)の中点を求めなさい。

解答：(-1,1)

解説：座標の平均です。

問題：(3-i)(2+5i)を計算しなさい。

解答：11+13i

解説：6+15i-2i-5i²=11+13iです。

問題：放物線 x²=-20y の焦点を求めなさい。

解答：(0,-5)

解説：x²=4py、4p=-20よりp=-5です。

問題：空間ベクトル(2,2,-1)の大きさを求めなさい。

解答：3

解説：√(4+4+1)=3です。

問題：|z+2|=3 の中心と半径を求めなさい。

解答：中心-2、半径3

解説：|z-(-2)|=3です。

問題：双曲線 y²/25-x²/9=1 の漸近線を求めなさい。

解答：y=±(5/3)x

解説：y²/a²-x²/b²=1でa=5,b=3です。

問題：極座標(5,π)を直交座標に直しなさい。

解答：(-5,0)

解説：x=5cosπ=-5、y=0です。

問題：a=(1,2,2)，b=(2,1,-2) の内積を求めなさい。

解答：0

解説：2+2-4=0です。

問題：z=2(cosπ/4+i sinπ/4)の4乗を求めなさい。

解答：-16

解説：4乗で絶対値16、偏角π。よって-16です。

問題：円 x²+y²+2x-8y+8=0 の中心と半径を求めなさい。

解答：中心(-1,4)、半径3

解説：平方完成して(x+1)²+(y-4)²=9です。

問題：A(1,0,3)，B(4,6,0)を1:2に内分する点を求めなさい。

解答：(2,2,2)

解説：(2A+B)/3=(2,2,2)です。

問題：|z-i|=|z+i| が表す図形を求めなさい。

解答：実軸

解説：点iと-iから等距離なので実軸です。

問題：媒介変数 x=4cosθ，y=4sinθ が表す曲線を求めなさい。

解答：x²+y²=16

解説：cos²θ+sin²θ=1です。

問題：a=(2,-1)，b=(1,3)。a+tbがbに垂直となるtを求めなさい。

解答：1/10

解説：a・b=-1、b・b=10。-1+10t=0よりt=1/10です。

問題：z²= -9 を解きなさい。

解答：z=±3i

解説：平方して-9になる複素数です。

問題：楕円x²/49+y²/24=1の離心率を求めなさい。

解答：5/7

解説：c²=25,c=5,a=7です。

問題：直線(x,y,z)=(1,2,0)+t(3,-1,2)でy=0となる点を求めなさい。

解答：(7,0,4)

解説：2-t=0よりt=2。

問題：A(0,0)，B(6,2)，C(1,5)の三角形の面積を求めなさい。

解答：14

解説：|6×5-2×1|/2=28/2=14です。

問題：z=1+iを中心0のままπ/3回転した点を表す複素数を求めなさい。

解答：((1-√3)/2)+((1+√3)/2)i

解説：(cosπ/3+i sinπ/3)(1+i)を展開します。

問題：放物線y²=4x上の点(1,2)における接線を求めなさい。

解答：y=x+1

解説：接線公式 yy1=2p(x+x1)、p=1より2y=2(x+1)です。

問題：A(1,2,3)，B(3,1,5)，C(5,0,7)が一直線上にあるか判定しなさい。

解答：一直線上にある

解説：AB=(2,-1,2)、AC=(4,-2,4)=2ABです。

問題：z+共役z=4，|z|=5を満たすzを求めなさい。

解答：2±√21 i

解説：実部2、x²+y²=25よりy²=21です。

問題：極方程式r=8cosθを円の方程式に直しなさい。

解答：(x-4)²+y²=16

解説：r²=8r cosθよりx²+y²=8xです。

問題：a=(3,4)，b=(1,0)。aをb方向へ射影したベクトルを求めなさい。

解答：(3,0)

解説：bはx軸方向の単位ベクトルなので射影は(3,0)です。

問題：双曲線x²/25-y²/11=1の焦点を求めなさい。

解答：(±6,0)

解説：c²=25+11=36です。

問題：z³=-8の解をすべて求めなさい。

解答：-2，1+√3i，1-√3i

解説：半径2、偏角πを3等分してπ/3,π,5π/3です。

問題：平面x+2y-2z=3と点(2,1,4)の距離を求めなさい。

解答：7/3

解説：|2+2-8-3|/√(1+4+4)=7/3です。

問題：点PがPA²+PB²+PC²を最小にする。A(0,0)，B(6,0)，C(0,9)のときPを求めなさい。

解答：(2,3)

解説：3点の重心で最小。平均を取ります。

問題：複素数zが|z|=2を満たすとき、w=(2-i)zの軌跡を求めなさい。

解答：|w|=2√5

解説：|w|=|2-i||z|=√5×2です。

問題：楕円x²/16+y²/9=1上の点(2,3√3/2)における接線を求めなさい。

解答：x/8+√3 y/6=1

解説：接線公式xx1/16+yy1/9=1です。

問題：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,3,0)，D(0,0,4)の四面体体積を求めなさい。

解答：4

解説：2×3×4÷6=4です。

問題：arg((z-2)/(z+2))=π/2 が表す図形を説明しなさい。

解答：点2と-2を直径の端点とする円の一部

解説：2点を見込む角が90°の点の集合です。

問題：双曲線x²/9-y²/16=1上の点(5,16/3)における接線を求めなさい。

解答：5x/9 - y/3 =1

解説：公式xx1/9-yy1/16=1より5x/9-(16/3)y/16=1です。

問題：直線r=(1,1,1)+t(1,2,3)と平面2x-y+z=7の交点を求めなさい。

解答：(8/3,13/3,6)

解説：代入すると2(1+t)-(1+2t)+(1+3t)=2+3t=7、t=5/3。点は(8/3,13/3,6)です。

問題：z²+(1-i)z-i=0を解きなさい。

解答：z=-1，i

解説：和は-1+i、積-i。解は-1とiです。

問題：媒介変数x=t²-1，y=2tで表される曲線を求めなさい。

解答：x=y²/4-1

解説：t=y/2を代入します。

問題：a=(1,2,3)，b=(2,-1,1)。|a+tb|²が最小となるtを求めなさい。

解答：-3/6=-1/2

解説：a・b=2-2+3=3、b・b=6。t=-3/6=-1/2です。