問題：次の式を展開しなさい。
(2x-3)(x+5)

解答：2x²+7x-15

解説：分配法則で2x²+10x-3x-15となり、同類項をまとめます。

問題：次の式を展開しなさい。
(3a+2b)²

解答：9a²+12ab+4b²

解説：(p+q)²=p²+2pq+q²を使います。

問題：次の式を因数分解しなさい。
x²+9x+20

解答：(x+4)(x+5)

解説：積が20、和が9になる2数は4と5です。

問題：次の式を因数分解しなさい。
4x²-25y²

解答：(2x-5y)(2x+5y)

解説：A²-B²=(A-B)(A+B)を使います。

問題：次の式を因数分解しなさい。
6x²+11x+3

解答：(2x+3)(3x+1)

解説：積18、和11になる組を考えて中項を分けます。

問題：次の式を簡単にしなさい。
(x+2)²-(x-4)(x+4)

解答：4x+20

解説：展開してx²+4x+4-(x²-16)=4x+20です。

問題：x=√5+1 のとき、x²-2x の値を求めなさい。

解答：4

解説：x²-2x=x(x-2)。直接計算すると(√5+1)²-2(√5+1)=4です。

問題：次の数を有理化しなさい。
5/(√3+1)

解答：5(√3-1)/2

解説：分母分子に√3-1をかけます。分母は3-1=2です。

問題：次の不等式を解きなさい。
3(2x-1)≧4x+7

解答：x≧5

解説：6x-3≧4x+7より2x≧10です。

問題：a<0 のとき、|a-3|+|a+2|を絶対値記号を使わずに表しなさい。

解答：-2a+1

解説：a<0ではa-3<0。a+2は場合分けが必要ですが、a<-2なら-2a+1、-2≦a<0なら5。

問題：√72-√18+√8 を簡単にしなさい。

解答：5√2

解説：√72=6√2、√18=3√2、√8=2√2です。

問題：次の値を求めなさい。
(√7-√2)(√7+√2)

解答：5

解説：和と差の積で7-2=5です。

問題：2x-5<7 かつ -x+3≦1 を満たすxの範囲を求めなさい。

解答：x≧2 かつ x<6

解説：前者はx<6、後者はx≧2です。

問題：集合 A={1,2,3,6,9}, B={2,4,6,8} のとき、A∩Bを求めなさい。

解答：{2,6}

解説：両方に含まれる要素を選びます。

問題：命題「xが6の倍数ならばxは3の倍数である」の逆を述べ、真偽を答えなさい。

解答：逆：xが3の倍数ならばxは6の倍数である。偽。

解説：3は3の倍数ですが6の倍数ではありません。

問題：次の式を因数分解しなさい。
2x²-7x-4

解答：(2x+1)(x-4)

解説：積が-8、和が-7になる組を使います。

問題：x²+px+12 が (x+3) を因数にもつとき、pを求めなさい。

解答：p=7

解説：x=-3を代入して9-3p+12=0、p=7です。

問題：√12 < n < √45 を満たす整数nをすべて求めなさい。

解答：4,5,6

解説：√12は約3.46、√45は約6.70です。

問題：不等式 |x-2|<5 を解きなさい。

解答：-3

解説：距離が5未満なので -5

問題：a+b=5, ab=3 のとき、a²+b²を求めなさい。

解答：19

解説：a²+b²=(a+b)²-2ab=25-6=19です。

問題：x²-6x+1=0 のとき、x+1/x の値を求めなさい。ただしx≠0。

解答：6

解説：両辺をxで割るとx-6+1/x=0です。

問題：次の式を因数分解しなさい。
x³-3x²-4x+12

解答：(x-3)(x-2)(x+2)

解説：前半と後半でくくるとx²(x-3)-4(x-3)です。

問題：mを実数とする。不等式 mx<2 の解が x> -1/2 となるようなmを求めなさい。

解答：m=-4

解説：m<0で向きが変わり、2/m=-1/2よりm=-4です。

問題：√(x²-6x+9)=4 を解きなさい。

解答：x=-1, 7

解説：√(x-3)²=|x-3|なので|x-3|=4です。

問題：x+y=2, x²+y²=10 のとき、xyを求めなさい。

解答：-3

解説：(x+y)²=x²+2xy+y²より4=10+2xyです。

問題：x²+ax+16 が整数係数で一次式の積に因数分解でき、a>0の整数である。aをすべて求めなさい。

解答：8,10,17

解説：16の正の約数ペア(1,16),(2,8),(4,4)の和です。

問題：不等式 x²-5x+6<0 を解きなさい。

解答：2

解説：(x-2)(x-3)<0より2つの根の間です。

問題：x²-4x+k≧0 がすべての実数xで成り立つようなkの範囲を求めなさい。

解答：k≧4

解説：最小値はk-4なので、k-4≧0です。

問題：a+b+c=0 のとき、a²+b²+c²をab+bc+caで表しなさい。

解答：a²+b²+c²=-2(ab+bc+ca)

解説：(a+b+c)²=0を展開します。

問題：x>0で、x+4/x の最小値を求めなさい。

解答：4

解説：相加相乗平均よりx+4/x≧2√4=4。x=2で等号です。

問題：実数xについて、x²-2x+3 の最小値と、そのときのxを求めなさい。

解答：最小値2、x=1

解説：(x-1)²+2なので最小値は2です。

問題：x²-2(k+1)x+k²+4=0 が重解をもつとき、kを求めなさい。

解答：k=3/2

解説：判別式を0にして4(k+1)²-4(k²+4)=0です。

問題：すべての実数xで x²+2x+a>0 が成り立つようなaの範囲を求めなさい。

解答：a>1

解説：最小値はa-1。厳密に正なのでa-1>0です。

問題：x+y=1, x³+y³=19 のとき、xyを求めなさい。

解答：-6

解説：x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)=1-3xy=19です。

問題：x²+px+q が x=2 で最小値 -5 をとり、最高次係数が1である。p,qを求めなさい。

解答：p=-4, q=-1

解説：平方完成形は(x-2)²-5=x²-4x-1です。

問題：整数xについて、x²-7x+10<0 を満たすxをすべて求めなさい。

解答：x=3,4

解説：(x-2)(x-5)<0より2

問題：√(x+5)+√(8-x)=5 を解きなさい。

解答：x=4

解説：定義域内で移項して2乗します。確認するとx=4だけです。

問題：a>0, b>0, ab=9 のとき、2a+8b の最小値を求めなさい。

解答：24

解説：(2a)(8b)=16ab=144。相加相乗平均で2a+8b≧24です。

問題：2次式 x²-4x+7 を x-1 で割った余りを求めなさい。

解答：4

解説：余りはx=1を代入した値で1-4+7=4です。

問題：x²+ax+b を x-2 で割ると余り3、x+1で割ると余り12。a,bを求めなさい。

解答：a=-4, b=7

解説：f(2)=3、f(-1)=12より連立して求めます。