問題：次の恒等式が成り立つように，定数 a，b を求めなさい。
x²+5x+6=(x+a)(x+b)，ただし a≦b とする。

解答：a=2，b=3

解説：展開すると x²+(a+b)x+ab です。a+b=5，ab=6より a=2，b=3 です。

問題：次の式を展開し，整理しなさい。
(2x-3)(x²+3x+9)

解答：2x³+3x²+9x-27

解説：分配法則で 2x³+6x²+18x-3x²-9x-27 とし，同類項をまとめます。

問題：次の式を因数分解しなさい。
x³-8

解答：(x-2)(x²+2x+4)

解説：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) を使います。

問題：次の式を因数分解しなさい。
8x³+27

解答：(2x+3)(4x²-6x+9)

解説：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) を使います。

問題：x²-4x+7 を平方完成しなさい。

解答：(x-2)²+3

解説：x²-4x=(x-2)²-4 なので，+7を合わせて (x-2)²+3 です。

問題：2x²+6x+1 を平方完成しなさい。

解答：2(x+3/2)²-7/2

解説：2(x²+3x)+1=2{(x+3/2)²-9/4}+1 です。

問題：次の等式を証明しなさい。
(a+b)²-(a-b)²=4ab

解答：左辺を展開して4ab

解説：左辺は a²+2ab+b²-(a²-2ab+b²)=4ab となり，右辺に等しいです。

問題：次の等式を証明しなさい。
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

解答：展開して一致

解説：右辺を展開すると a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³=a³+b³ です。

問題：x²+px+12 が x+3 を因数にもつとき，p を求めなさい。

解答：p=7

解説：x=-3 を代入して 9-3p+12=0。21-3p=0より p=7 です。

問題：2x²+kx-15 が x-3 を因数にもつとき，k を求めなさい。

解答：k=-1

解説：x=3 を代入して18+3k-15=0。3+3k=0より k=-1です。

問題：多項式 P(x)=x³-2x²-5x+6 を x-1 で割った余りを求めなさい。

解答：0

解説：剰余定理より P(1)=1-2-5+6=0 です。

問題：P(x)=2x³+x²-4x+5 を x+2 で割った余りを求めなさい。

解答：-15

解説：P(-2)=2(-8)+4+8+5=-15 です。

問題：P(x)=x³+ax²-4x+6 が x-2 で割り切れるとき，a を求めなさい。

解答：a=-3/2

解説：P(2)=8+4a-8+6=4a+6。これが0なので a=-3/2 です。

問題：P(x)=x³-4x²+ax+6 が x+1 で割り切れるとき，a を求めなさい。

解答：a=1

解説：P(-1)=-1-4-a+6=1-a。0より a=1 です。

問題：次の不等式を証明しなさい。
a²+b²≧2ab

解答：(a-b)²≧0より成り立つ

解説：a²+b²-2ab=(a-b)²≧0 だからです。

問題：次の不等式を証明しなさい。
x²+4≧4x

解答：(x-2)²≧0より成り立つ

解説：x²-4x+4=(x-2)²≧0 なので x²+4≧4x です。

問題：x+y=5，xy=6 のとき，x²+y² を求めなさい。

解答：13

解説：x²+y²=(x+y)²-2xy=25-12=13です。

問題：x+y=4，xy=-3 のとき，x³+y³ を求めなさい。

解答：100

解説：x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)=64-3(-3)4=100です。

問題：x²+3x-10=0 の2解を α，β とするとき，α+β，αβ を求めなさい。

解答：α+β=-3，αβ=-10

解説：解と係数の関係より，和は -3，積は -10 です。

問題：2x²-5x+1=0 の2解を α，β とするとき，α+β，αβ を求めなさい。

解答：α+β=5/2，αβ=1/2

解説：解と係数の関係より，和は -b/a=5/2，積は c/a=1/2 です。

問題：x²-6x+11=0 の2解を α，β とするとき，α²+β² を求めなさい。

解答：14

解説：α+β=6，αβ=11。α²+β²=36-22=14です。

問題：2つの数の和が7，積が10であるとき，その2つの数を解にもつ2次方程式を作りなさい。

解答：t²-7t+10=0

解説：解の和S，積Pなら t²-St+P=0 です。

問題：x²+ax+b=0 の2解が 2，5 であるとき，a，b を求めなさい。

解答：a=-7，b=10

解説：(x-2)(x-5)=x²-7x+10 です。

問題：x²-4x+k=0 が重解をもつとき，k を求めなさい。

解答：k=4

解説：判別式 D=16-4k=0 より k=4 です。

問題：x³-3x²-4x+12 を因数分解しなさい。

解答：(x-3)(x-2)(x+2)

解説：x²(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x²-4) とまとめます。

問題：x³-3x²-4x+12 を因数分解しなさい。

解答：(x-3)(x-2)(x+2)

解説：共通因数でなく，組に分けて x²(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x²-4) です。

問題：x³+x²-9x-9 を因数分解しなさい。

解答：(x+1)(x-3)(x+3)

解説：x²(x+1)-9(x+1)=(x+1)(x²-9) です。

問題：a+b+c=0 のとき，a³+b³+c³=3abc を証明しなさい。

解答：恒等式から成り立つ

解説：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) を用い，a+b+c=0 なので0です。

問題：x+y+z=6，xy+yz+zx=11 のとき，x²+y²+z² を求めなさい。

解答：14

解説：x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=36-22=14です。

問題：x²-3x+1=0 の解を α とする。α²+1/α² を求めなさい。

解答：7

解説：α≠0で，α+1/α=3。よって α²+1/α²=9-2=7です。

問題：x²-5x+5=0 の2解を α，β とするとき，1/α+1/β を求めなさい。

解答：1

解説：(α+β)/(αβ)=5/5=1です。

問題：x²-4x+2=0 の2解を α，β とするとき，(α-β)² を求めなさい。

解答：8

解説：(α-β)²=(α+β)²-4αβ=16-8=8です。

問題：P(x)=x³+ax²+bx+6 が x-1 と x-2 で割り切れるとき，a，b を求めなさい。

解答：a=-6，b=-1

解説：P(1)=a+b+7=0，P(2)=4a+2b+14=0。連立して a=-6，b=-1です。

問題：P(x)=2x³+ax²+bx-3 が x+1 と x-3 で割り切れるとき，a，b を求めなさい。

解答：a=-7，b=12

解説：P(-1)=a-b-5=0，P(3)=51+9a+3b=0。連立して a=-7，b=12です。

問題：a>0，b>0 のとき，a/b+b/a≧2 を証明しなさい。

解答：相加相乗平均より成り立つ

解説：a/b と b/a は正で，積は1。よって a/b+b/a≧2√1=2です。

問題：x>0 のとき，x+9/x の最小値を求めなさい。

解答：6

解説：相加相乗平均より x+9/x≧2√9=6。等号はx=3です。

問題：x+y=10，x>0，y>0 のとき，xy の最大値を求めなさい。

解答：25

解説：xy≦((x+y)/2)²=25。等号は x=y=5です。

問題：x²+2x+5 の最小値を求めなさい。

解答：4

解説：(x+1)²+4 なので最小値は4です。

問題：2x²-8x+11 の最小値を求めなさい。

解答：3

解説：2(x-2)²+3 なので最小値は3です。

問題：x²+y²=10，x+y=4 のとき，xy を求めなさい。

解答：3

解説：(x+y)²=x²+y²+2xy より16=10+2xy，xy=3です。