問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→2] (x²+3x-4)

解答：6

解説：多項式はそのまま代入できます。2²+3×2-4=6です。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→1] (x²-1)/(x-1)

解答：2

解説：x²-1=(x-1)(x+1) と因数分解し、x≠1で約分してx+1。x=1を代入します。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→0] sin 5x / x

解答：5

解説：sin 5x / x =5·(sin 5x)/(5x)。基本極限より5です。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→0] (1-cos x)/x²

解答：1/2

解説：1-cos x=2sin²(x/2)を用いると、2{sin(x/2)/x}²=1/2です。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→∞] (3x²-5x+1)/(x²+4)

解答：3

解説：分子分母をx²で割ると、最高次の係数の比3/1になります。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→∞] (√(x²+2x)-x)

解答：1

解説：有理化して 2x /(√(x²+2x)+x)。分母をxでくくると極限は1です。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→0] (e^(3x)-1)/x

解答：3

解説：e^u-1 の基本極限をu=3xで使うと3です。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→0] log(1+4x)/x

解答：4

解説：log(1+u)/u→1をu=4xで使うと4です。

問題：数列 a_n=(2n²+1)/(5n²-3n) の極限を求めなさい。

解答：2/5

解説：n²で割ると(2+1/n²)/(5-3/n)→2/5です。

問題：数列 a_n=(√(n²+6n)-n) の極限を求めなさい。

解答：3

解説：有理化して 6n/(√(n²+6n)+n)。nで割ると6/(√(1+6/n)+1)→3です。

問題：f(x)=x³-2x とする。x=1における微分係数を定義に従って求めなさい。

解答：1

解説：f(1+h)-f(1)= (1+h)³-2(1+h)+1 =h+3h²+h³。hで割りh→0として1です。

問題：f(x)=√x とする。x=4における微分係数を求めなさい。

解答：1/4

解説：導関数は f′(x)=1/(2√x)。x=4を代入して1/4です。

問題：f(x)=1/x とする。x=2における接線の傾きを求めなさい。

解答：-1/4

解説：f′(x)=-1/x²より、f′(2)=-1/4です。

問題：関数 f(x)=(x²-4)/(x-2) は x=2 で定義されていない。x=2で連続になるようにf(2)を定めなさい。

解答：4

解説：x≠2でf(x)=x+2。x→2の極限が4なのでf(2)=4です。

問題：f(x)=|x| は x=0 で微分可能か。理由も書きなさい。

解答：微分可能でない

解説：右微分係数は1、左微分係数は-1で一致しないため微分可能ではありません。

問題：f(x)=x²+ax+b が f(1)=3，f′(1)=6 を満たす。a，bを求めなさい。

解答：a=4，b=-2

解説：f′(x)=2x+a。f′(1)=2+a=6よりa=4。f(1)=1+4+b=3よりb=-2です。

問題：f(x)=x³+px²+qx が x=1 で極値をもつ。p+q=2 のとき p，q を求めなさい。

解答：p=-5，q=7

解説：極値条件よりf′(1)=0。f′(x)=3x²+2px+qなので3+2p+q=0。p+q=2と連立します。

問題：f(x)=sin x について、x=π/6における微分係数を求めなさい。

解答：√3/2

解説：f′(x)=cos x。よってcos(π/6)=√3/2です。

問題：f(x)=e^x の x=0 における接線の方程式を求めなさい。

解答：y=x+1

解説：点は(0,1)、傾きはf′(0)=1。よってy-1=xです。

問題：f(x)=log x の x=1 における接線の方程式を求めなさい。

解答：y=x-1

解説：点は(1,0)、傾きは1/xより1。したがってy=x-1です。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→0] (sin x - x cos x)/x³

解答：1/3

解説：sin x=x-x³/6+…、xcos x=x-x³/2+…より差はx³/3に近づきます。

問題：次の極限を求めなさい。
lim[x→0] (e^x-1-x)/x²

解答：1/2

解説：e^x=1+x+x²/2+…より、分子はx²/2に近づきます。

問題：aを定数とする。lim[x→0] (sin ax)/(tan 3x)=2 となるaを求めなさい。

解答：a=6

解説：x→0でsin ax≈ax、tan3x≈3xなので極限はa/3。a/3=2よりa=6です。

問題：f(x)=x²sin(1/x) (x≠0), f(0)=0 は x=0 で微分可能か。微分係数も求めなさい。

解答：微分可能，f′(0)=0

解説：差商は {h²sin(1/h)}/h=h sin(1/h)。はさみうちより0に収束します。

問題：f(x)=x sin(1/x) (x≠0), f(0)=0 は x=0 で連続か、微分可能かを判定しなさい。

解答：連続だが微分可能でない

解説：x sin(1/x)→0で連続。差商はsin(1/h)となり極限が存在しません。

問題：lim[x→∞] x(√(x²+1)-√(x²-1)) を求めなさい。

解答：1

解説：有理化すると 2x /(√(x²+1)+√(x²-1))。xで割ると1です。

問題：lim[x→0+] x log x を求めなさい。

解答：0

解説：x=1/t とおくと -log t/t。t→∞で0に近づきます。

問題：lim[x→0] (tan x - sin x)/x³ を求めなさい。

解答：1/2

解説：tan x=x+x³/3+…、sin x=x-x³/6+…より差はx³/2です。

問題：f(x)=x³+ax²+bx が x=1 で接線 y=2x-1 をもつ。a，bを求めなさい。

解答：a=-3，b=5

解説：f(1)=1、f′(1)=2。1+a+b=1、3+2a+b=2を解きます。

問題：関数 f(x)=x^α が x=1 で接線 y=3x-2 をもつ。αを求めなさい。

解答：α=3

解説：f(1)=1は満たす。傾きf′(1)=αなので、α=3です。

問題：lim[x→0] {log(1+x)-x+x²/2}/x³ を求めなさい。

解答：1/3

解説：log(1+x)=x-x²/2+x³/3-…より極限は1/3です。

問題：lim[x→0] (1-cos 2x)/(e^(x²)-1) を求めなさい。

解答：2

解説：1-cos2x≈(2x)²/2=2x²、e^(x²)-1≈x²より2です。

問題：lim[n→∞] n(√(n²+n)-n) を発散・収束で判定しなさい。

解答：正の無限大に発散

解説：√(n²+n)-n= n/(√(n²+n)+n)→1/2。これにnをかけるので∞です。

問題：a_n=(1+2/n)^n とする。極限を求めなさい。

解答：e²

解説：(1+c/n)^n→e^c を使い、c=2です。

問題：lim[x→0] (sin x - x)/(x(1-cos x)) を求めなさい。

解答：-1/3

解説：分子≈-x³/6、分母≈x·x²/2=x³/2。比は-1/3です。

問題：f(x)=x²log x (x>0) について、x→0+の極限を求めなさい。

解答：0

解説：log xは発散しますがx²が勝つため0に収束します。

問題：lim[x→∞] (1+3/x)^(2x) を求めなさい。

解答：e^6

解説：(1+3/x)^x→e³なので、2x乗ではe⁶です。

問題：lim[x→0] {sin(2x)-2sin x}/x³ を求めなさい。

解答：-1

解説：sin2x=2x-4x³/3+…、2sinx=2x-x³/3+…より差は-x³です。

問題：f(x)=x²+a|x| が x=0 で微分可能となるaを求めなさい。

解答：a=0

解説：右微分係数はa、左微分係数は-a。等しいにはa=0が必要です。

問題：lim[x→0] (a sin x + b tan x)/x =5、かつ lim[x→0] (a sin x - b tan x)/x =1 のときa，bを求めなさい。

解答：a=3，b=2

解説：基本極限よりa+b=5、a-b=1。連立してa=3、b=2です。