問題：等差数列 5, 9, 13, … の第18項を求めなさい。

解答：73

解説：初項5、公差4より a₁₈=5+(18−1)×4=73です。

問題：等比数列 3, 6, 12, … の第9項を求めなさい。

解答：768

解説：初項3、公比2より a₉=3×2⁸=768です。

問題：数列 aₙ=2n²−3n+1 について、a₇を求めなさい。

解答：78

解説：n=7を代入して2×49−21+1=78です。

問題：等差数列で a₄=11, a₁₂=35 のとき、公差を求めなさい。

解答：3

解説：a₁₂−a₄=8d=24よりd=3です。

問題：初項8、公差−3の等差数列の初めの20項の和を求めなさい。

解答：−410

解説：S₂₀=20{2×8+19×(−3)}/2=10(16−57)=−410です。

問題：初項2、公比3の等比数列の初めの6項の和を求めなさい。

解答：728

解説：S₆=2(3⁶−1)/(3−1)=728です。

問題：Σ(k=1から10) (2k−1) を求めなさい。

解答：100

解説：奇数の和は項数の2乗なので10²=100です。

問題：Σ(k=1から8) k(k+1) を求めなさい。

解答：240

解説：Σ(k²+k)=Σk²+Σk=204+36=240です。

問題：階差数列が 3,5,7,9,… で、a₁=4 のとき、a₆を求めなさい。

解答：39

解説：a₆=4+(3+5+7+9+11)=39です。

問題：aₙ=4n−1 のとき、Σ(k=1からn) aₖ をnで表しなさい。

解答：2n²+n

解説：Σ(4k−1)=4・n(n+1)/2−n=2n²+nです。

問題：5個のデータ 4, 6, 7, 9, 14 の平均を求めなさい。

解答：8

解説：合計40を5で割って8です。

問題：データ 2, 3, 5, 10 の分散を求めなさい。

解答：9.5

解説：平均5。偏差平方は9,4,0,25で合計38。38/4=9.5です。

問題：赤玉3個、白玉2個から同時に2個取り出す。2個とも赤である確率を求めなさい。

解答：3/10

解説：全事象は₅C₂=10、赤2個は₃C₂=3なので3/10です。

問題：硬貨を4回投げるとき、表がちょうど3回出る確率を求めなさい。

解答：1/4

解説：₄C₃/2⁴=4/16=1/4です。

問題：Xが二項分布 B(5,1/3) に従うとき、P(X=2)を求めなさい。

解答：80/243

解説：₅C₂(1/3)²(2/3)³=10×1/9×8/27=80/243です。

問題：確率変数Xの分布が P(X=0)=1/4, P(X=2)=1/2, P(X=4)=1/4 のとき、E(X)を求めなさい。

解答：2

解説：0×1/4+2×1/2+4×1/4=2です。

問題：確率変数Xが B(12,1/4) に従うとき、E(X)を求めなさい。

解答：3

解説：二項分布の平均はnpなので12×1/4=3です。

問題：確率変数Xが B(20,0.3) に従うとき、V(X)を求めなさい。

解答：4.2

解説：二項分布の分散はnp(1−p)なので20×0.3×0.7=4.2です。

問題：標準正規分布で P(−1.96≦Z≦1.96)=0.95 とする。P(Z>1.96)を求めなさい。

解答：0.025

解説：左右対称なので外側0.05の半分で0.025です。

問題：母平均の信頼区間で、標本平均50、標準誤差2、信頼係数95%の係数を1.96とすると、95%信頼区間を求めなさい。

解答：46.08≦μ≦53.92

解説：50±1.96×2=50±3.92です。

問題：等差数列の第5項が17、第20項が62である。この数列の初項と公差を求めなさい。

解答：初項5、公差3

解説：15d=45よりd=3。a₅=a₁+4d=17よりa₁=5です。

問題：等比数列で a₃=12, a₆=96, 公比が正のとき、初項を求めなさい。

解答：3

解説：a₆/a₃=r³=8よりr=2。a₃=a₁r²=4a₁=12よりa₁=3です。

問題：Σ(k=1からn) (3k²−2k) をnで表しなさい。

解答：n²(n+1)−n(n+1)=n(n+1)(n−1)

解説：3Σk²−2Σk=3n(n+1)(2n+1)/6−n(n+1)=n(n+1)(n−1)です。

問題：a₁=2, aₙ₊₁=aₙ+3n−1 で定まる数列の一般項を求めなさい。

解答：aₙ=(3n²−5n+6)/2

解説：aₙ=2+Σ(k=1からn−1)(3k−1)=2+3(n−1)n/2−(n−1)を整理します。

問題：aₙ=2ⁿ+3n について、aₙ₊₁−2aₙを求めなさい。

解答：3−3n

解説：aₙ₊₁=2ⁿ⁺¹+3n+3。2aₙ=2ⁿ⁺¹+6nなので差は3−3nです。

問題：数列 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, … の第n項を推測して表しなさい。

解答：1/{n(n+1)}

解説：分母が2,6,12,20でn(n+1)なので第n項は1/{n(n+1)}です。

問題：1,2,3,4,5から重複を許して2個選ぶとき、和が6になる確率を求めなさい。

解答：5/25=1/5

解説：全25通り。和6は(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)の5通りです。

問題：Xの分布が P(X=1)=1/6, P(X=2)=1/3, P(X=5)=1/2 のとき、V(X)を求めなさい。

解答：35/18

解説：E(X)=10/3、E(X²)=79/6。V=79/6−100/9=35/18です。

問題：B(8,1/2) に従うXについて、P(X≧7)を求めなさい。

解答：9/256

解説：P(X=7)+P(X=8)=(₈C₇+₈C₈)/2⁸=9/256です。

問題：母標準偏差12、標本サイズ36、標本平均104のとき、95%信頼区間を求めなさい。ただし1.96を用いる。

解答：100.08≦μ≦107.92

解説：標準誤差は12/√36=2。104±1.96×2です。

問題：等差数列の初項から第n項までの和が Sₙ=2n²+3n である。この数列の第n項を求めなさい。

解答：4n+1

解説：aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁。2n²+3n−{2(n−1)²+3(n−1)}=4n+1です。

問題：a₁=1, aₙ₊₁=2aₙ+3 の一般項を求めなさい。

解答：aₙ=4・2ⁿ⁻¹−3

解説：aₙ+3=2(aₙ₋₁+3)よりaₙ+3は初項4、公比2の等比数列です。

問題：Σ(k=1からn) k・2ᵏ を求めなさい。

解答：(n−1)2ⁿ⁺¹+2

解説：S=Σk2ᵏ とし、2Sをずらして引くと −S=2+2²+…+2ⁿ−n2ⁿ⁺¹。整理して答えです。

問題：a₁=3, a₂=5, aₙ₊₂=3aₙ₊₁−2aₙ で定まる数列について、a₅を求めなさい。

解答：33

解説：a₃=3×5−2×3=9、a₄=3×9−2×5=17、a₅=3×17−2×9=33です。

問題：正の整数nについて、1³+2³+…+n³={n(n+1)/2}² を用い、1³+…+10³を求めなさい。

解答：3025

解説：{10×11/2}²=55²=3025です。

問題：袋Aからは成功確率1/3、袋Bからは成功確率2/3の試行を行う。A,Bを同確率で選び、成功した。Aを選んでいた確率を求めなさい。

解答：1/3

解説：ベイズの定理より(1/2×1/3)/(1/2×1/3+1/2×2/3)=1/3です。

問題：X〜B(100,0.5)を正規分布で近似する。連続補正を用いて P(45≦X≦55) を標準化で表しなさい。

解答：P(−1.1≦Z≦1.1)

解説：平均50、標準偏差5。連続補正で44.5≦X≦55.5、標準化して−1.1≦Z≦1.1です。

問題：帰無仮説p=0.5で100回中60回成功した。標準化統計量を求めなさい。

解答：2

解説：平均50、標準偏差√(100×0.5×0.5)=5。z=(60−50)/5=2です。

問題：標本平均の95%信頼区間の幅を半分にするには、標本サイズを何倍にすればよいか。

解答：4倍

解説：幅は1/√nに比例します。半分にするには√nを2倍、つまりnを4倍にします。

問題：独立なX,Yについて E(X)=3, V(X)=4, E(Y)=−1, V(Y)=9 のとき、E(2X−3Y), V(2X−3Y)を求めなさい。

解答：E=9, V=97

解説：期待値は2×3−3×(−1)=9。分散は4V(X)+9V(Y)=16+81=97です。