問題：ベクトル a=(3,-2)，b=(-1,5) のとき、2a+b を求めなさい。

解答： (5,1)

解説：2a=(6,-4) なので、2a+b=(6,-4)+(-1,5)=(5,1) です。

問題：A(1,2)，B(7,-1) のとき、ベクトル AB を成分で表しなさい。

解答：(6,-3)

解説：終点−始点で、AB=(7-1,-1-2)=(6,-3) です。

問題：a=(4,1)，b=(2,-3) のとき、a-b の大きさを求めなさい。

解答：√20 または 2√5

解説：a-b=(2,4)。大きさは √(2²+4²)=√20=2√5 です。

問題：点A(2,-1)からベクトル v=(5,3) だけ進んだ点Pの座標を求めなさい。

解答：(7,2)

解説：Aの座標に成分を加えて、P=(2+5,-1+3)=(7,2) です。

問題：a=(1,4)，b=(3,-2) のとき、内積 a・b を求めなさい。

解答：-5

解説：1×3+4×(-2)=3-8=-5 です。

問題：a=(2,-1)，b=(6,-3) のとき、a と b の関係を説明しなさい。

解答：b=3a なので平行で同じ向き

解説：3a=(6,-3) だから、bはaの3倍です。

問題：A(0,0)，B(6,2) を 1:2 に内分する点Pの座標を求めなさい。

解答：(2,2/3)

解説：AP:PB=1:2なので、内分点は P=(2A+1B)/3=(2,2/3) です。

問題：A(-2,5)，B(4,-1) の中点Mを求めなさい。

解答：(1,2)

解説：中点は ((-2+4)/2,(5-1)/2)=(1,2) です。

問題：a=(k,3)，b=(4,6) が平行となる k を求めなさい。

解答：k=2

解説：(k,3)=t(4,6)。3=6tよりt=1/2、k=4×1/2=2です。

問題：a=(2,5)，b=(-5,2) について、a・b を求め、2つのベクトルの位置関係を述べなさい。

解答：0、垂直

解説：2×(-5)+5×2=0。内積が0なので垂直です。

問題：点A(1,3)，B(5,7)，C(8,1) のとき、AB+BC を成分で求めなさい。

解答：(7,-2)

解説：AB=(4,4)、BC=(3,-6)。和は(7,-2)で、これはACと同じです。

問題：a=(3,-1)，b=(1,2) のとき、x a + y b=(8,3) を満たす x，y を求めなさい。

解答：x=13/7，y=17/7

解説：3x+y=8、-x+2y=3。解いて x=13/7、y=17/7 です。

問題：A(2,1)，B(8,4)，C(5,10) の三角形ABCで、辺ABの中点をMとする。CMを成分で表しなさい。

解答：(0,-15/2)

解説：M=((2+8)/2,(1+4)/2)=(5,5/2)。CM=M-C=(0,-15/2) です。

問題：a=(1,-2)，b=(4,1) のなす角をθとする。cosθ を求めなさい。

解答：2/√85

解説：内積は1×4+(-2)×1=2。|a|=√5、|b|=√17より cosθ=2/(√5√17)=2/√85 です。

問題：A(3,-2)，B(-1,6) を 3:1 に外分する点Pの座標を求めなさい。

解答：(-3,10)

解説：AP:PB=3:1の外分点は (3B-1A)/(3-1)=((-3,18)-(3,-2))/2=(-3,10) です。

問題：a=(2,1)，b=(1,-3) のとき、a+tb が a に垂直となる t を求めなさい。

解答：t=5

解説：(a+tb)・a=0。a・a=5、b・a=2-3=-1なので、5-t=0 より t=5 です。

問題：A(0,2)，B(4,0)，C(6,5) の重心Gを求めなさい。

解答：(10/3,7/3)

解説：重心は3点の平均なので ((0+4+6)/3,(2+0+5)/3)=(10/3,7/3) です。

問題：点Pが OP=(1-t)OA+tOB で表される。t=2/3 のとき、Pは線分ABをどの比に内分するか。

解答：AP:PB=2:1

解説：係数tはAからBへ進む割合。t=2/3なので AP:PB=2:1 です。

問題：a=(m,2)，b=(8,m) が垂直となる m を求めなさい。

解答：m=0

解説：内積 8m+2m=10m=0 より m=0 です。

問題：A(1,1)，B(5,2)，C(3,6) の三角形ABCで、ABとACの内積を求めなさい。

解答：13

解説：AB=(4,1)、AC=(2,5)。内積は4×2+1×5=13です。

問題：a=(1,2)，b=(3,-1) に対し、p=2a-b，q=a+3b とする。p・q を求めなさい。

解答：-15

解説：p=2a-b=(2,4)-(3,-1)=(-1,5)、q=a+3b=(1,2)+(9,-3)=(10,-1)。p・q=-10-5=-15です。

問題：A(2,3)，B(8,1)，C(4,9) の三角形で、辺BCを2:1に内分する点Dを求めなさい。

解答：(16/3,19/3)

解説：BD:DC=2:1なので D=(B+2C)/3=((8,1)+(8,18))/3=(16/3,19/3) です。

問題：a=(2,-1)，b=(1,4) とする。ベクトル x=a+kb が b に垂直となる k を求めなさい。

解答：k=2/17

解説：(a+kb)・b=0。a・b=2-4=-2、b・b=17。-2+17k=0より k=2/17 です。

問題：点P(x,y) が |OP|=5，かつ Pは直線 y=2x 上にある。第1象限のPを求めなさい。

解答：(√5,2√5)

解説：x²+y²=25、y=2xより5x²=25、x=√5。第1象限なのでP=(√5,2√5)です。

問題：A(1,0)，B(5,3)，C(2,7) について、△ABCの面積をベクトルで求めなさい。

解答：25/2

解説：AB=(4,3)、AC=(1,7)。面積は |4×7-3×1|/2=25/2 です。

問題：a=(3,4) と同じ向きの単位ベクトルを求めなさい。

解答：(3/5,4/5)

解説：|a|=5なので、a/|a|=(3/5,4/5) です。

問題：a=(1,-1)，b=(2,3) について、c=a+sb が x軸に平行となる s を求めなさい。

解答：s=1/3

解説：c=(1+2s,-1+3s)。x軸に平行ならy成分0。-1+3s=0よりs=1/3です。

問題：A(0,0)，B(6,0)，C(2,4) の三角形で、角Aの二等分線とBCの交点Dを求めなさい。

解答：(6√5/(3+√5), 12/(3+√5))

解説：AB=6、AC=2√5。BD:DC=AB:AC=3:√5。内分公式でD=(√5B+3C)/(3+√5)です。

問題：a=(2,3)，b=(-1,4) について、|a+tb|² が最小となる t を求めなさい。

解答：-10/17

解説：|a+tb|²が最小のとき(a+tb)・b=0。a・b=10、b・b=17より10+17t=0、t=-10/17です。

問題：A(1,2)，B(7,5)，C(4,k) が一直線上にある k を求めなさい。

解答：k=7/2

解説：AB=(6,3)、AC=(3,k-2)。平行条件 6(k-2)-9=0 より k=7/2 です。

問題：a=(2,1)，b=(1,3) とする。点Pが OP=sa+tb で、成分が(7,11)である。s，tを求めなさい。

解答：s=2，t=3

解説：2s+t=7、s+3t=11。解いてs=2、t=3です。

問題：A(1,1)，B(6,2)，C(3,8) の外心を求めなさい。

解答：(7/2,7/2)

解説：外心を(x,y)とし、OAでなく各点からの距離を等しくする。計算するとx=7/2、y=7/2です。

問題：a=(4,-2)，b=(1,2) に対し、aをb方向とbに垂直な方向に分解したとき、b方向成分を求めなさい。

解答：(0,0)

解説：a・b=4-4=0なので、aのb方向への射影は零ベクトルです。

問題：A(0,0)，B(4,1)，C(1,5) の三角形で、AからBCに下ろした高さの長さを求めなさい。

解答：19/√25 = 19/5

解説：面積は |4×5-1×1|/2=19/2。BC=√((-3)²+4²)=5。高さhは(1/2)×5h=19/2よりh=19/5です。

問題：a=(1,2)，b=(3,1)。|a+tb|=|a-tb| を満たす t を求めなさい。

解答：t=0

解説：両辺を2乗すると |a|²+2t a・b+t²|b|²=|a|²-2t a・b+t²|b|²。4t(a・b)=0、a・b=5よりt=0です。

問題：点PがPA²+PB²を最小にする。A(2,-1)，B(8,5) のときPを求めなさい。

解答：(5,2)

解説：PA²+PB²はPがABの中点のとき最小。中点は(5,2)です。

問題：A(1,0)，B(5,2)，C(2,6) で、点Pが AP=2PB を満たす。ただしPは線分AB上。Pの座標を求めなさい。

解答：(11/3,4/3)

解説：AP:PB=2:1なので P=(A+2B)/3=(11/3,4/3) です。

問題：a=(cosθ,sinθ)，b=(cosφ,sinφ) の内積を、θ，φを用いて表しなさい。

解答：cos(θ-φ)

解説：内積はcosθcosφ+sinθsinφ。加法定理よりcos(θ-φ)です。

問題：A(0,0)，B(8,0)，C(2,6) の三角形で、内心の座標を求めなさい。

解答：( (8√40)/(6+√40+√72), (48)/(6+√40+√72) )

解説：辺の長さを重みとして使う。a=BC=√72、b=CA=√40、c=AB=8より、内心は(aA+bB+cC)/(a+b+c)です。

問題：a=(2,-3)，b=(5,1)。a+kb と b のなす角が90°になる k を求めなさい。

解答：k=-7/26

解説：(a+kb)・b=0。a・b=10-3=7、b・b=26。7+26k=0より k=-7/26です。