問題：(x+6)(x-3) を展開しなさい。

解答：x²+3x-18

解説：分配法則で x²−3x+6x−18 とし、一次の係数をまとめます。

問題：x²+11x+30 を因数分解しなさい。

解答：(x+5)(x+6)

解説：和が一次の係数、積が定数項になる2数を探します。

問題：√98 を簡単にしなさい。

解答：7√2

解説：平方数の部分を根号の外に出します。

問題：|x−5|= 8 を満たす x をすべて求めなさい。

解答：x=-3、13

解説：絶対値の中身が正の場合と負の場合に分けて考えます。

問題：3x−6 ≦ 2x+9 を解きなさい。

解答：x≦15

解説：xを左辺、数を右辺に集めます。

問題：全体集合 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}、A={2,4,6,8,10}、B={1,2,3,5,8} のとき A∩B を求めなさい。

解答：{2,8}

解説：AとBの両方に入っている要素だけを取り出します。

問題：命題『整数nが4の倍数ならば、nは偶数である』の逆を書き、真偽を答えなさい。

解答：逆：整数nが偶数ならば、nは4の倍数である。偽。

解説：偶数でも6のように4の倍数でない例があります。

問題：二次関数 y=(x−4)²+5 の頂点を求めなさい。

解答：(4,5)

解説：y=(x-p)²+q の頂点は (p,q) です。

問題：y=x²−8x+13 を平方完成しなさい。

解答：y=(x−4)²−3

解説：x²−8x の部分から (x−4)² を作ります。

問題：x²−9x+20=0 を解きなさい。

解答：x=4、5

解説：因数分解すると (x−4)(x−5)=0 です。

問題：x²−8x+18=0 の実数解の個数を求めなさい。

解答：0個

解説：判別式 D=b²-4ac を計算すると負になります。

問題：y=−x²+8x+1 の軸の方程式を求めなさい。

解答：x=4

解説：二次関数 ax²+bx+c の軸は x=-b/(2a) です。

問題：sin30°、cos60°、tan45° の値をそれぞれ答えなさい。

解答：sin30°=1/2、cos60°=1/2、tan45°=1

解説：基本角の三角比を確認します。

問題：直角三角形で斜辺が14、角Aの向かいの辺が7である。sinAを求めなさい。

解答：1/2

解説：sinは『向かいの辺/斜辺』です。

問題：△ABCで AB=7, AC=8, ∠A=60° のとき BC² を求めなさい。

解答：57

解説：余弦定理 BC²=AB²+AC²-2AB・AC・cosA を使います。

問題：データ 4, 6, 9, 9, 12 の中央値を求めなさい。

解答：9

解説：小さい順に並んでいるので中央の値を取ります。

問題：データ 5, 5, 8, 11, 11 の最頻値をすべて求めなさい。

解答：5 と 11

解説：最も多く現れる値をすべて答えます。

問題：データ 3, 4, 5 の分散を求めなさい。

解答：2/3

解説：平均はs、偏差平方の和は1+0+1=2なので分散は2/3です。

問題：『x=2』は『x²=4』であるための何条件か答えなさい。

解答：十分条件だが必要条件ではない。

解説：x=2ならx²=4ですが、x²=4ならx=-2の場合もあります。

問題：0≦x≦6 における y=(x−4)²+1 の最小値を求めなさい。

解答：1

解説：頂点 x=s が範囲内にあるので最小値は1です。

問題：a+b=9, ab=11 のとき a²+b² を求めなさい。

解答：59

解説：a²+b²=(a+b)²-2ab を用います。

問題：x²−8x+12＜0 を解きなさい。

解答：2＜x＜6

解説：左辺を (x−2)(x−6) と見て、上に開く放物線が負になる範囲を答えます。

問題：n(A)=18, n(B)=15, n(A∪B)=25 のとき n(A∩B) を求めなさい。

解答：8

解説：n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) を使います。

問題：命題『x²が奇数ならばxは奇数である』の対偶を書き、真偽を答えなさい。

解答：対偶：xが偶数ならばx²は偶数である。真。

解説：元の命題と対偶は真偽が一致します。

問題：−1≦x≦5 で y=−x²+8x+3 の最大値を求めなさい。

解答：19

解説：頂点 x=s が範囲内にあるので、頂点のy座標が最大値です。

問題：頂点が(4,−2)で、点(5,1)を通る二次関数を求めなさい。

解答：y=3(x−4)²−2

解説：y=a(x−4)²−2 とおき、通る点を代入します。

問題：△ABCで AB=8, AC=10, ∠A=30° のとき面積を求めなさい。

解答：20

解説：面積は 1/2・AB・AC・sinA です。sin30°=1/2を代入します。

問題：△ABCで A=30°、a=7、B=45° のとき、b を求めなさい。

解答：7√2

解説：正弦定理 a/sinA=b/sinB を使います。

問題：5個のデータの平均が8で、そのうち4個が 4, 7, 9, 12 である。残り1個を求めなさい。

解答：8

解説：平均×個数で合計を出し、既知の4個の合計を引きます。

問題：二次方程式 x²−8x+k=0 が重解をもつように k を求めなさい。

解答：16

解説：重解をもつ条件は判別式D=0です。

問題：放物線 y=x²−8x+15 と直線 y=m が異なる2点で交わる m の範囲を求めなさい。

解答：m＞−1

解説：平方完成すると y=(x−4)²−1。水平線y=mが異なる2点で交わるのは頂点より上です。

問題：|x−4|+|x−8|=6 を解きなさい。

解答：3≦x≦9

解説：2点4と8からの距離の和が6になる点を考えます。区間外で距離和が増えます。

問題：nを整数とする。n²+n+1 が偶数にならないことを説明しなさい。

解答：n²+nは連続する2整数の積なので偶数。よってn²+n+1は奇数であり、偶数にならない。

解説：偶奇に着目します。連続整数の積は必ず偶数です。

問題：すべての実数xについて x²−8x+k≧0 が成り立つkの範囲を求めなさい。

解答：k≧16

解説：上に開く放物線が常に0以上になるには最小値が0以上であればよいです。

問題：三角形の3辺が 7, 8, 9 のとき、最も長い辺に対する角の余弦を求めなさい。

解答：32/112

解説：余弦定理を角について解きます。

問題：0°≦θ≦180°、sinθ=1/2 を満たすθをすべて求めなさい。

解答：θ=30°、150°

解説：第1象限と第2象限でsinが正になります。

問題：データ 2, 4, 5, 9 の平均と分散を求めなさい。

解答：平均=5、分散=6.5

解説：平均を出し、それぞれの偏差の平方の平均を取ります。

問題：データ 1, 3, 4, 6, 8, 13 の四分位範囲を求めなさい。

解答：5

解説：下半分の中央値Q1と上半分の中央値Q3を求め、Q3-Q1を計算します。

問題：実数xについて『x＞1』と『x²＞1』の関係を、必要条件・十分条件で答えなさい。

解答：x＞1 は x²＞1 であるための十分条件だが必要条件ではない。

解説：x＞1ならx²＞1。逆はx＜-1でも成り立つので偽です。

問題：二次関数 y=x²−8x+11 のグラフをx軸方向に2、y軸方向に−3だけ平行移動した式を求めなさい。

解答：y=(x−6)²−8

解説：元は y=(x−4)²−5。右へ2、下へ3動かすと頂点が(6,−8)になります。