問題：方程式 x²+4x+7=0 を解きなさい。

解答：x=-2±√3 i

解説：平方完成して (x+2)²=-3 より x=-2±√3 i です。

問題：方程式 x²-2x+5=0 を解きなさい。

解答：x=1±2i

解説：判別式は -16。解の公式より x=(2±4i)/2=1±2i です。

問題：方程式 2x²-4x+5=0 を解きなさい。

解答：x=1±(√6/2)i

解説：解の公式より x=(4±√(-24))/4=1±(√6/2)i です。

問題：複素数 (3+2i)+(1-5i) を計算しなさい。

解答：4-3i

解説：実部どうし，虚部どうしを加えます。

問題：複素数 (4-3i)-(2+i) を計算しなさい。

解答：2-4i

解説：実部は4-2，虚部は-3-1です。

問題：複素数 (2+i)(3-4i) を計算しなさい。

解答：10-5i

解説：6-8i+3i-4i²=10-5i です。

問題：複素数 (1+2i)² を計算しなさい。

解答：-3+4i

解説：1+4i+4i²=-3+4i です。

問題：1/(2-i) を a+bi の形で表しなさい。

解答：2/5+1/5 i

解説：分母分子に 2+i をかけます。

問題：(3+i)/(1-i) を a+bi の形で表しなさい。

解答：1+2i

解説：分母分子に1+iをかけると (2+4i)/2=1+2i です。

問題：z=2-3i の共役複素数を求めなさい。

解答：2+3i

解説：虚部の符号を変えます。

問題：z=3+4i の絶対値 |z| を求めなさい。

解答：5

解説：|z|=√(3²+4²)=5です。

問題：z=1-√3 i の絶対値と偏角を求めなさい。ただし偏角は -π<θ≦π とする。

解答：絶対値2，偏角 -π/3

解説：第4象限で，tanの絶対値が√3，長さ2です。

問題：複素数平面で z= -1+i の表す点を座標で答えなさい。

解答：(-1,1)

解説：実部がx座標，虚部がy座標です。

問題：方程式 x²+1=0 の解を複素数で答えなさい。

解答：x=±i

解説：x²=-1 より x=±i です。

問題：方程式 x²-6x+13=0 の2解を求めなさい。

解答：x=3±2i

解説：(x-3)²=-4 より x=3±2i です。

問題：x³-1=0 を複素数の範囲で因数分解しなさい。

解答：(x-1)(x²+x+1)

解説：3乗の差 a³-b³ を用います。

問題：x³+8=0 を複素数の範囲で因数分解しなさい。

解答：(x+2)(x²-2x+4)

解説：3乗の和の公式を用います。

問題：方程式 x³-8=0 の実数解を求めなさい。

解答：x=2

解説：x³=8 より実数解は2です。

問題：2次方程式 x²-2x+k=0 が虚数解をもつような k の範囲を求めなさい。

解答：k>1

解説：判別式 D=4-4k<0 より k>1 です。

問題：2次方程式 x²+4x+m=0 が異なる2つの実数解をもつような m の範囲を求めなさい。

解答：m<4

解説：判別式 D=16-4m>0 より m<4です。

問題：z=1+i のとき，z²+2z を求めなさい。

解答：2+4i

解説：z²=2i，2z=2+2i なので 2+4i です。

問題：z=2+i のとき，z+1/z を a+bi の形で表しなさい。

解答：12/5+4/5 i

解説：1/z=(2-i)/5。よって 2+i+(2-i)/5=12/5+4/5 i です。

問題：z=cos(π/3)+i sin(π/3) のとき，z² を三角関数の形で表しなさい。

解答：cos(2π/3)+i sin(2π/3)

解説：ド・モアブルの定理より角を2倍します。

問題：z=2{cos(π/6)+i sin(π/6)} の絶対値を求めなさい。

解答：2

解説：三角形式 r(cosθ+i sinθ) の r が絶対値です。

問題：方程式 x²-(2+i)x+(1+i)=0 の1つの解が1である。もう1つの解を求めなさい。

解答：1+i

解説：解の和が2+iなので，もう一つは2+i-1=1+iです。

問題：方程式 x²-4x+8=0 の2解を α，β とするとき，α²+β² を求めなさい。

解答：0

解説：α+β=4，αβ=8。α²+β²=16-16=0です。

問題：x²+2x+5=0 の2解を α，β とするとき，1/α+1/β を求めなさい。

解答：-2/5

解説：(α+β)/(αβ)=-2/5です。

問題：複素数 z が z+共役z=6，z-共役z=4i を満たすとき，z を求めなさい。

解答：3+2i

解説：z=a+bi とおくと 2a=6，2bi=4i より a=3，b=2です。

問題：|z|=5，zの実部が3で虚部が正であるとき，z を求めなさい。

解答：3+4i

解説：3²+b²=25，b>0より b=4 です。

問題：z=1+i を複素数平面上で原点中心に90°回転した点を表す複素数を求めなさい。

解答：-1+i

解説：90°回転は i をかけること。i(1+i)=-1+iです。

問題：z=2-3i を実軸に関して対称移動した点を表す複素数を求めなさい。

解答：2+3i

解説：実軸対称は共役複素数です。

問題：z=1+√3 i の3乗を求めなさい。

解答：-8

解説：z=2(cosπ/3+i sinπ/3)。3乗は8(cosπ+i sinπ)=-8です。

問題：z=√2( cos(π/4)+i sin(π/4) ) の4乗を求めなさい。

解答：-4

解説：絶対値は√2，偏角π/4。4乗は4(cosπ+i sinπ)=-4です。

問題：方程式 z²= -4i の解を求めなさい。

解答：z=√2(1-i)，-√2(1-i)

解説：-4i=4(cos(-π/2)+i sin(-π/2))。平方根は絶対値2，偏角 -π/4 と 3π/4 です。

問題：方程式 z³=1 の解をすべて求めなさい。

解答：1，-1/2+√3/2 i，-1/2-√3/2 i

解説：1の3乗根は偏角0, 2π/3, 4π/3です。

問題：z=cosθ+i sinθ のとき，z+1/z を θ を用いて表しなさい。

解答：2cosθ

解説：1/z=cosθ-i sinθ なので和は 2cosθ です。

問題：z=cosθ+i sinθ のとき，z-1/z を θ を用いて表しなさい。

解答：2i sinθ

解説：共役との差になり，虚部だけが残ります。

問題：方程式 x²-2ax+a²+4=0 が虚数解をもつことを示しなさい。

解答：判別式が -16<0

解説：D=(-2a)²-4(a²+4)=-16<0 なので実数解をもちません。

問題：複素数 z が |z-1|=|z+1| を満たす点の軌跡を求めなさい。

解答：虚軸

解説：点1と点-1から等距離の点の集合なので，線分の垂直二等分線 x=0 です。

問題：|z-2|=3 を満たす点の軌跡を求めなさい。

解答：中心(2,0)，半径3の円

解説：2からの距離が3である点の集合です。