問題：y=x⁵-3x²+4 の導関数を求めなさい。

解答：y′=5x⁴-6x

解説：べきの微分公式を各項に使います。

問題：y=(2x-1)⁴ の導関数を求めなさい。

解答：y′=8(2x-1)³

解説：合成関数の微分で、外側4乗と内側2をかけます。

問題：y=sin 3x の導関数を求めなさい。

解答：y′=3cos3x

解説：sin u の微分はcos u·u′です。

問題：y=cos(x²) の導関数を求めなさい。

解答：y′=-2x sin(x²)

解説：cos uの微分は-sin u·u′です。

問題：y=e^(2x+1) の導関数を求めなさい。

解答：y′=2e^(2x+1)

解説：e^uの微分はe^u·u′です。

問題：y=log(x²+1) の導関数を求めなさい。

解答：y′=2x/(x²+1)

解説：log uの微分はu′/uです。

問題：y=x²e^x の導関数を求めなさい。

解答：y′=e^x(x²+2x)

解説：積の微分を用います。

問題：y=x sin x の導関数を求めなさい。

解答：y′=sin x + x cos x

解説：積の微分公式です。

問題：y=(x²+1)/(x-1) の導関数を求めなさい。

解答：y′=(x²-2x-1)/(x-1)²

解説：商の微分公式を使って整理します。

問題：y=√(1+x²) の導関数を求めなさい。

解答：y′=x/√(1+x²)

解説：(1+x²)^(1/2)として合成関数の微分をします。

問題：曲線 y=x³-2x 上の x=1 における接線を求めなさい。

解答：y=x-2

解説：点は(1,-1)、傾きは3x²-2より1です。

問題：曲線 y=e^x 上の x=0 における法線を求めなさい。

解答：y=-x+1

解説：接線の傾き1なので法線の傾きは-1です。

問題：曲線 y=log x 上の x=e における接線を求めなさい。

解答：y=(1/e)x

解説：点(e,1)、傾き1/e。y-1=(1/e)(x-e)です。

問題：曲線 y=sin x の x=π/3 における接線の傾きを求めなさい。

解答：1/2

解説：導関数cos xにπ/3を代入します。

問題：曲線 y=x⁴-4x² の x=1 における接線を求めなさい。

解答：y=-4x+1

解説：点(1,-3)、傾き4-8=-4です。

問題：曲線 y=1/x の点(2,1/2)における法線を求めなさい。

解答：y=4x-15/2

解説：接線傾き-1/4なので法線傾き4です。

問題：曲線 y=x²+ax+b が点(1,2)を通り、その点での接線の傾きが5である。a，bを求めなさい。

解答：a=3，b=-2

解説：1+a+b=2、2+a=5を解きます。

問題：曲線 y=x³+px が x=1で直線 y=6x-4 に接する。pを求めなさい。

解答：p=3

解説：傾き条件3+p=6よりp=3。点も1+3=4で直線上です。

問題：曲線 y=tan x の x=0 における接線を求めなさい。

解答：y=x

解説：点(0,0)、導関数1/cos²xより傾き1です。

問題：曲線 y=√x の x=9 における接線を求めなさい。

解答：y=(1/6)x+3/2

解説：点(9,3)、傾き1/(2√9)=1/6です。

問題：y=x^x (x>0) の導関数を求めなさい。

解答：y′=x^x(log x+1)

解説：対数微分でlog y=xlog xとします。

問題：y=(sin x)^(cos x) の対数微分の式を立てなさい。

解答：y′/y=-sin x log(sin x)+cos²x/sin x

解説：log y=cos x log(sin x)を微分します。

問題：媒介変数表示 x=t²+1, y=t³-t の t=1 における dy/dx を求めなさい。

解答：1

解説：dy/dt=3t²-1、dx/dt=2t。t=1で2/2=1です。

問題：陰関数 x²+xy+y²=3 について、dy/dxを求めなさい。

解答：dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)

解説：両辺をxで微分し、y′について解きます。

問題：曲線 x²+y²=25 の点(3,4)における接線を求めなさい。

解答：3x+4y=25

解説：円の接線公式、または陰関数微分で求めます。

問題：y=x³-3x の増減を調べ、極値を求めなさい。

解答：x=-1で極大2，x=1で極小-2

解説：y′=3(x²-1)。符号変化から判断します。

問題：y=x⁴-2x² の極値を求めなさい。

解答：x=0で極大0，x=±1で極小-1

解説：y′=4x(x²-1)。符号表で判定します。

問題：y=xe^(-x) の極値を求めなさい。

解答：x=1で極大1/e

解説：y′=e^(-x)(1-x)。x=1で+から-へ変わります。

問題：関数 y=log x - x の最大値を求めなさい。

解答：-1

解説：y′=1/x-1。x=1で最大、値は-1です。

問題：y=x+1/x (x>0) の最小値を求めなさい。

解答：2

解説：y′=1-1/x²。x=1で最小、値は2です。

問題：y=x³-3ax が x=2で極小値をもつ。aを求めなさい。

解答：a=4

解説：y′=3x²-3a。x=2で0よりa=4。符号も-から+です。

問題：曲線 y=x³+ax²+bx が x=1で極大、x=3で極小をもつ。a，bを求めなさい。

解答：a=-6，b=9

解説：y′=3(x-1)(x-3)=3x²-12x+9と係数比較します。

問題：y=sin x + cos x の 0≦x≦2π における最大値と最小値を求めなさい。

解答：最大√2，最小-√2

解説：√2 sin(x+π/4)に変形します。

問題：y=x²log x (x>0) の極値を求めなさい。

解答：x=e^(-1/2)で極小 -1/(2e)

解説：y′=x(2logx+1)。符号変化から極小です。

問題：曲線 y=x³ の外部の点(0,-2)から引ける接線の本数を求めなさい。

解答：1本

解説：接点をtとすると接線は y=3t²(x-t)+t³。点(0,-2)を代入して -2=-2t³、よってt=1です。

問題：y=e^xとy=axが接するようなaを求めなさい。

解答：a=e

解説：接点tでe^t=at、傾きe^t=a。よってt=1、a=eです。

問題：y=log x と y=ax が接するようなaを求めなさい。

解答：a=1/e

解説：接点tでlogt=at、傾き1/t=a。よってlogt=1、t=e、a=1/eです。

問題：関数 f(x)=x⁴-4x³ の変曲点を求めなさい。

解答：(2,-16)

解説：f″(x)=12x²-24x=12x(x-2)。x=2で凹凸が変わります。

問題：曲線 y=x³-3x²+2 の x=0からx=3までの増減と極値を述べなさい。

解答：x=0〜2で減少，2〜3で増加。x=2で極小-2

解説：y′=3x(x-2)。区間内の符号で判断します。

問題：x>0で不等式 log x≦x-1 を微分を用いて証明しなさい。

解答：g(x)=x-1-logxの最小値が0

解説：g′(x)=1-1/x。x=1で最小、g(1)=0なのでg(x)≧0です。