問題：y=x³-6x²+9x の極値を求めなさい。

解答：x=1で極大4，x=3で極小0

解説：y′=3(x-1)(x-3)より符号変化で判定します。

問題：y=x⁴-4x²+1 の極値を求めなさい。

解答：x=0で極大1，x=±√2で極小-3

解説：y′=4x(x²-2)を調べます。

問題：y=2x+8/x (x>0) の最小値を求めなさい。

解答：8

解説：y′=2-8/x²。x=2で最小、値は8です。

問題：y=x-log x (x>0) の最小値を求めなさい。

解答：1

解説：y′=1-1/x。x=1で最小です。

問題：y=e^x-2x の極値を求めなさい。

解答：x=log2で極小 2-2log2

解説：y′=e^x-2。x=log2で-から+へ変化します。

問題：y=sin x (0≦x≦π) の最大値と最小値を求めなさい。

解答：最大1，最小0

解説：区間内でx=π/2が最大。端点で0です。

問題：y=x√(4-x²) (0≦x≦2) の最大値を求めなさい。

解答：2

解説：y²=x²(4-x²)と見てもよく、x=√2で最大2です。

問題：y=(x²+1)/(x+1) (x>-1) の増減を調べなさい。

解答：x=0で極小1。(-1,0)で減少，(0,∞)で増加

解説：導関数は(x²+2x-1)/(x+1)²ではなく、商の微分を正確に使い符号を調べます。

問題：y=x²e^(-x) (x≧0) の最大値を求めなさい。

解答：4/e²

解説：y′=e^(-x)x(2-x)。x=2で最大です。

問題：y=log(x²+1) の最小値を求めなさい。

解答：0

解説：x=0で最小。log1=0です。

問題：方程式 x³-3x+1=0 の実数解の個数を調べなさい。

解答：3個

解説：f′=3(x²-1)。極大・極小の値が符号をまたぐため3個です。

問題：方程式 e^x=3x の正の解の個数を調べなさい。

解答：2個

解説：g=e^x-3x。最小値g(log3)=3-3log3<0、端で正になるため2個です。

問題：方程式 log x = 1/x の正の解の個数を調べなさい。

解答：1個

解説：h=logx-1/xは単調増加です。

問題：曲線 y=x³-3x と直線 y=k の交点が3個となるkの範囲を求めなさい。

解答：-2

解説：極大2、極小-2の間で水平線が3点で交わります。

問題：方程式 x⁴-4x²+a=0 が異なる4つの実数解をもつaの範囲を求めなさい。

解答：0

解説：t=x²とおくとt²-4t+a=0が異なる正の2解をもつ条件です。

問題：曲線 y=x² と y=mx+1 が接するmを求めなさい。

解答：実数mは存在しない

解説：x²=mx+1よりx²-mx-1=0。判別式m²+4は0にならないので接しません。

問題：直線 y=2x+b が y=x²+1 に接するときbを求めなさい。

解答：b=0

解説：x²+1=2x+bが重解。判別式4-4(1-b)=0よりb=0です。

問題：曲線 y=log x と直線 y=x-a が接するときaを求めなさい。

解答：a=1-log1=1

解説：接点x=1で傾き1が一致。0=1-aよりa=1です。

問題：y=x³-3x²+2 とx軸の共有点の個数を求めなさい。

解答：2個

解説：x=1で0、x=1は重解です。x³-3x²+2=(x-1)²(x+2)なので共有点は2個です。

問題：方程式 sin x=x/2 の 0≦x≦π における解の個数を求めなさい。

解答：2個

解説：x=0は解。0より大きい範囲でグラフがもう1回交わります。

問題：不等式 e^x≧1+x を微分を用いて証明しなさい。

解答：g(x)=e^x-1-xの最小値0

解説：g′=e^x-1。x=0で最小、g(0)=0です。

問題：不等式 sin x < x (x>0) を0

解答：h=x-sinxは増加

解説：h′=1-cosx>0、h(0)=0よりh>0です。

問題：y=x³-3x²+ax が極値をもたないaの範囲を求めなさい。

解答：a≧3

解説：y′=3x²-6x+a。判別式36-12a≦0です。

問題：y=x⁴+ax² がx=0で極小になるaの条件を求めなさい。

解答：a≧0

解説：a>0なら明らかに極小、a=0でもx⁴で極小です。

問題：点(0,c)から曲線y=x²へ引ける接線が2本となるcの範囲を求めなさい。

解答：c<0

解説：接点tの接線 y=2tx-t² が(0,c)を通るのでc=-t²。t≠0で2本にはc<0です。

問題：曲線 y=x³-3x の接線で、傾きが9のものをすべて求めなさい。

解答：y=9x-16，y=9x+16

解説：3x²-3=9よりx=±2。各接点で接線を作ります。

問題：y=log x の接線で原点を通るものを求めなさい。

解答：y=x/e

解説：接点tで接線 y-logt=(1/t)(x-t)。原点を通すとlogt=1、t=eです。

問題：y=e^x の接線で原点を通るものを求めなさい。

解答：y=ex

解説：接点tで y=e^t(x-t)+e^t。原点より1-t=0、t=1です。

問題：f(x)=x³+ax+b が x=1で極大値2、x=3で極小値-2をもつ。a，bを求めなさい。

解答：条件を満たすa,bは存在しない

解説：f′=3x²+aは極値を2点もてません。

問題：y=x³+ax²+bx+c が x=0で極大、x=2で極小をもつ。bを求めなさい。

解答：b=0

解説：y′=3x²+2ax+bがx=0,2を根にもつのでb=0です。

問題：関数 f(x)=x-log(1+x) (x>-1) の最小値を求めなさい。

解答：0

解説：f′=x/(1+x)。x=0で最小、値0です。

問題：0 x を証明しなさい。

解答：g=tanx-xは増加

解説：g′=1/cos²x-1>0、g(0)=0です。

問題：曲線 y=x³-3x² と直線 y=kx が3点で交わるkの範囲を求めなさい。

解答：-3

解説：x³-3x²-kx=x(x²-3x-k)。二次方程式が正負2解をもつ条件です。

問題：y=x⁴-4x³+ax² が x=0 以外に極値を2つもつaの範囲を求めなさい。

解答：a<9/2

解説：y′=2x(2x²-6x+a)。二次部分が異なる2実根をもつ条件です。

問題：y=log x と y=a/x が接するaを求めなさい。

解答：a=-e^(-1)

解説：接点tでlogt=a/t、傾き1/t=-a/t²。よってa=-t、logt=-1、t=e^-1です。

問題：曲線 y=x² と円 x²+(y-1)²=1 の共有点の個数を調べなさい。

解答：3個

解説：代入してx²+(x²-1)²=1。x²(x²-1)=0よりx=0,±1です。

問題：関数 y=x³-3ax の極大値と極小値の差が16となる正のaを求めなさい。

解答：a=∛16

解説：極値はx=±√a。極大値と極小値の差は4a√a。4a√a=16よりa^(3/2)=4、a=∛16です。

問題：f(x)=x+1/x (x>0) の接線で傾きが0のものを求めなさい。

解答：y=2

解説：f′=1-1/x²=0よりx=1。点は(1,2)です。

問題：曲線 y=x³ の接線が点(0,2)を通るとき、接点のx座標を求めなさい。

解答：x=-1

解説：接点tの接線は y=3t²(x-t)+t³。点(0,2)を代入して2=-2t³、よってt=-1です。

問題：y=e^x/x (x>0) の最小値を求めなさい。

解答：e

解説：log y=x-logx。微分して1-1/x=0よりx=1、値eです。