問題：lim[x→4] (x²-16)/(x-4) を求めなさい。

解答：8

解説：分子を (x-4)(x+4) と因数分解し、x≠4で約分してから代入します。

問題：lim[x→∞] (5x³-1x+1)/(3x³+6x²-2) を求めなさい。

解答：5/3

解説：最高次の項だけを比べます。分子と分母を x³ で割ると、極限は最高次係数の比です。

問題：lim[x→0] sin(4x)/x を求めなさい。

解答：4

解説：lim[u→0] sin u/u=1 を使います。u=4x とおくと 4 が残ります。

問題：lim[x→0] (e^(4x)-1)/x を求めなさい。

解答：4

解説：lim[t→0] (e^t-1)/t=1 を使います。t=4x とおくと答えは 4 です。

問題：数列 a_n=√(n²+5n)-n の極限 lim[n→∞] a_n を求めなさい。

解答：5/2

解説：有理化して、分母を n で割ります。√(1+a/n)→1 となるので a/2 になります。

問題：f(x)=5x³-4x²+1x-4 の導関数 f'(x) を求めなさい。

解答：15x²-8x+1

解説：各項を微分します。x³ は 3x²、x² は 2x になります。

問題：y=(x²+5)sin x を微分しなさい。

解答：y'=2x sin x+(x²+5)cos x

解説：積の微分を使います。前を微分したもの×後ろ＋前×後ろを微分したものです。

問題：y=(x+6)/(x²+7) を微分しなさい。

解答：y'=(-x²-12x+7)/(x²+7)²

解説：商の微分を使い、分子は (x²+b)−(x+a)2x と整理します。

問題：y=log(x²+5) を微分しなさい。

解答：y'=2x/(x²+5)

解説：log u の微分は u'/u です。u=x²+a として計算します。

問題：y=e^(4x)cos x を微分しなさい。

解答：y'=e^(4x)(4cos x-sin x)

解説：積の微分を使い、e^(ax) の微分は a e^(ax)、cos x の微分は -sin x です。

問題：曲線 y=x³-4x 上の x=5 における接線の傾きを求めなさい。

解答：71

解説：接線の傾きは導関数の値です。y'=3x²-a に x=b を代入します。

問題：曲線 y=x²+6x+7 の x=1 における接線の方程式を求めなさい。

解答：y=8x+6

解説：導関数で傾きを求め、接点の座標を代入して直線の式を作ります。

問題：f(x)=x⁴-3x²+5 について、f''(x) を求めなさい。

解答：12x²-6

解説：2回微分します。f'(x)=4x³-2ax、さらに微分して f''(x)=12x²-2a です。

問題：関数 f(x)=x³-6x の極値をとる x の値を求めなさい。

解答：x=±√2

解説：f'(x)=3x²-3a。f'(x)=0 を解くと x²=a です。

問題：関数 f(x)=x⁴-6x² を -2≦x≦2 で考える。最大値と最小値を求めなさい。

解答：端点と停留点を比較

解説：f'(x)=4x(x²-a)。端点と区間内の停留点を調べ、値を比較します。

問題：∫ ( 6x²-2x+2 ) dx を求めなさい。

解答：(6/3)x³-(2/2)x²+2x+C

解説：多項式は項別に積分します。積分定数 C を忘れないようにします。

問題：∫₀^π sin(3x) dx を求めなさい。

解答：(1-cos(3π))/3

解説：sin(ax) の原始関数は -cos(ax)/a です。0 と π を代入します。

問題：∫₀¹ 4x(x²+5)² dx を求めなさい。

解答：置換で計算

解説：u=x²+b とおくと du=2x dx です。x dx の形を利用して積分します。

問題：∫₀¹ x e^(3x) dx を部分積分で求めなさい。

解答：(( 3-1 )e^3+1)/9

解説：u=x、dv=e^(ax)dx として部分積分します。

問題：∫₁² 1/(x+6) dx を求めなさい。

解答：log((6+2)/(6+1))

解説：1/(x+a) の原始関数は log|x+a| です。上端と下端を代入します。

問題：lim[x→0] (1-cos(4x))/x² を求めなさい。

解答：16/2

解説：1-cos u は u²/2 に近づきます。u=ax とおくと a²/2 になります。

問題：lim[x→0] (log(1+6x)-6x)/x² を求めなさい。

解答：-36/2

解説：log(1+t)=t-t²/2+… を使います。t=ax とおくと二次の係数が残ります。

問題：曲線 y=x³-6x²+5x に原点から引いた接線の接点の x 座標を求めなさい。

解答：x=6/2（x=0を除く）

解説：接点を t とおき、接線が原点を通る条件 y(t)=t f'(t) を立てます。

問題：f(x)=x³-3x²-3x+2 が x=1 で極値をもつように a を求めなさい。

解答：-3

解説：極値をもつには f'(1)=0 が必要です。f'(x)=3x²-6x-a より 3-6-a=0 を解きます。

問題：関数 f(x)=x³-2x のグラフと x 軸で囲まれる面積を求めなさい。ただし a>0 とする。

解答：a²/2

解説：交点は x=0,±√a。対称性を使い、0 から √a の面積を2倍します。

問題：y=x² と y=2x+5 で囲まれる部分の面積を求める手順を説明し、積分式を立てなさい。

解答：交点を求めて上−下を積分

解説：まず x²=ax+b を解いて交点を出し、その区間で直線−放物線を積分します。

問題：∫₀^2 sin²x dx の値を求めなさい。

解答：π/4

解説：sin²x=(1-cos2x)/2 を使って積分します。

問題：∫₀¹ x²/(x³+5) dx を求めなさい。

解答：(1/3)log((5+1)/5)

解説：u=x³+a とおくと du=3x² dx です。

問題：y=√x、x=0、x=3、x軸で囲まれる部分を x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めなさい。

解答：π9/2

解説：回転体の体積は π∫ y² dx。y²=x なので π∫₀^a x dx です。

問題：媒介変数表示 x=t²+5, y=t³-7 において、t=1 のときの dy/dx を求めなさい。

解答：3/2

解説：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) を使います。dy/dt=3t²、dx/dt=2t です。

問題：lim[x→0] (sin x - x + x³/6)/x⁵ を求めなさい。

解答：1/120

解説：sin x の展開 sin x=x-x³/6+x⁵/120-… を使います。

問題：lim[n→∞] n(√(n²+6n+6)-n-6/2) を求めなさい。

解答：-1.5

解説：√(1+u) の展開を n の二次まで使います。一次項を消した後、定数項が残ります。

問題：f(x)=e^x sin x の第2導関数 f''(x) を求めなさい。

解答：2e^x cos x

解説：1回微分して e^x(sin x+cos x)、さらに微分して整理します。

問題：曲線 y=log x 上の点 x=2 における法線の方程式を求めなさい。

解答：y-log2=-2(x-2)

解説：接線の傾きは1/aなので、法線の傾きは -a です。

問題：方程式 e^x=6x+1 が x=0 以外の実数解をもつか、グラフの接線の考え方で説明しなさい。

解答：aの値により判定

解説：e^x の接線や凸性を使い、直線との共有点の数を考えます。

問題：∫₀^∞ e^(-6x) dx を求めなさい。

解答：1/6

解説：広義積分として上端を R とおき、R→∞ の極限をとります。

問題：∫ 1/(x²-4) dx を部分分数分解して求めなさい。

解答：(1/4)log|(x-2)/(x+2)|+C

解説：x²-a²=(x-a)(x+a) と分解し、部分分数分解します。

問題：極方程式 r=5cosθ で表される曲線の囲む面積を求めなさい。

解答：25π/4

解説：極座標の面積公式 1/2∫r²dθ を使います。範囲は -π/2≦θ≦π/2 です。

問題：媒介変数 x=5cos t, y=5sin t で表される楕円の面積を求めなさい。

解答：25π

解説：楕円の面積は πab です。媒介変数表示から半径方向の長さを読み取ります。

問題：∫₀¹ log(1+x) dx を求めなさい。

解答：2log2-1

解説：部分積分を使います。u=log(1+x)、dv=dx とおきます。