問題：複素数 z=3-4i の絶対値 |z| を求めなさい。

解答：5

解説：|z|=√(3²+(-4)²)=5です。

問題：z=2+i，w=1-3i のとき z+w を求めなさい。

解答：3-2i

解説：実部同士、虚部同士を足して3-2iです。

問題：(2+3i)(1-4i) を計算しなさい。

解答：14-5i

解説：2-8i+3i-12i²=14-5iです。

問題：(5+2i)/(1-i) を a+bi の形にしなさい。

解答：3/2+7/2 i

解説：分母分子に1+iをかけ、(5+2i)(1+i)/2=(3+7i)/2です。

問題：z=1+√3 i の偏角の主値を求めなさい。

解答：π/3

解説：第1象限でtanθ=√3なのでθ=π/3です。

問題：z=2(cosπ/6+i sinπ/6) を a+bi の形にしなさい。

解答：√3+i

解説：2cosπ/6=√3、2sinπ/6=1です。

問題：z=-1+i の共役複素数を求めなさい。

解答：-1-i

解説：虚部の符号を変えます。

問題：z=3+2i の表す点を原点について対称移動した点に対応する複素数を求めなさい。

解答：-3-2i

解説：原点対称では実部・虚部とも符号を変えます。

問題：i⁷ を求めなさい。

解答：-i

解説：iの累乗は4周期。7≡3なのでi³=-iです。

問題：z=4i を極形式で表しなさい。

解答：4(cosπ/2+i sinπ/2)

解説：絶対値4、偏角π/2です。

問題：z=2+2i を π/2 だけ原点中心に回転した複素数を求めなさい。

解答：-2+2i

解説：π/2回転はiをかける。i(2+2i)=-2+2iです。

問題：z=1-i を2倍に拡大し、原点中心にπだけ回転した点を表す複素数を求めなさい。

解答：-2+2i

解説：2倍して2-2i、π回転で-1をかけて-2+2iです。

問題：|z-3|=2 は複素数平面でどのような図形か。

解答：中心3、半径2の円

解説：zと3の距離が2である点の集合です。

問題：|z+1-i|=4 の円の中心と半径を求めなさい。

解答：中心 -1+i、半径4

解説：|z-(-1+i)|=4 と見ます。

問題：|z-2|=|z+2| が表す図形を求めなさい。

解答：虚軸

解説：点2と点-2から等距離の点の集合なので垂直二等分線、すなわち虚軸です。

問題：z=cosθ+i sinθ のとき、z²を極形式で表しなさい。

解答：cos2θ+i sin2θ

解説：ド・モアブルの定理より偏角が2倍になります。

問題：(1+i)^4 を求めなさい。

解答：-4

解説：(1+i)^2=2i、さらに2乗して(2i)^2=-4です。

問題：z=√3+i の3乗を求めなさい。

解答：8i

解説：z=2(cosπ/6+i sinπ/6)。3乗は8(cosπ/2+i sinπ/2)=8iです。

問題：z=2-2i の逆数 1/z を求めなさい。

解答：1/4+1/4 i

解説：1/(2-2i)=(2+2i)/8=1/4+1/4iです。

問題：z=1+2i，w=3-i のとき、z/w の虚部を求めなさい。

解答：7/10

解説：(1+2i)/(3-i)=(1+2i)(3+i)/10=(1+7i)/10なので虚部は7/10です。

問題：方程式 z²= -4 の解を複素数で求めなさい。

解答：z=±2i

解説：z²=-4=4(cosπ+i sinπ)。平方根は±2iです。

問題：z²=3+4i を満たすzを求めなさい。

解答：±(2+i)

解説：(2+i)²=3+4iなので、解は±(2+i)です。

問題：|z|=2，arg z=2π/3 のとき z を a+bi で表しなさい。

解答：-1+√3 i

解説：2(cos2π/3+i sin2π/3)=-1+√3iです。

問題：点1+iを中心にπ/4回転して点3+iが移る点を表す複素数を求めなさい。

解答：1+i+2·(cosπ/4+i sinπ/4)=1+√2+(1+√2)i

解説：中心を引くと(3+i)-(1+i)=2。π/4回転で2(cosπ/4+i sinπ/4)=√2+√2i。中心を戻します。

問題：|z-1|=|z-i| が表す直線の方程式を x,y で求めなさい。

解答：y=x

解説：z=x+yi とおくと(x-1)²+y²=x²+(y-1)²。整理してy=xです。

問題：|z|=1 のとき、|z+1|²+|z-1|²を求めなさい。

解答：4

解説：z=x+yi、x²+y²=1。和は(x+1)²+y²+(x-1)²+y²=2x²+2y²+2=4です。

問題：z=cos20°+i sin20° のとき、z⁹の偏角を0以上2π未満で求めなさい。

解答：π

解説：偏角は180°なのでπです。

問題：z+1/z が実数となる条件を、z≠0として説明しなさい。

解答：zが実数または|z|=1

解説：z=re^{iθ}とするとz+1/z=(r+r^{-1})cosθ+i(r-r^{-1})sinθ。虚部0よりsinθ=0またはr=1です。

問題：複素数平面で、0，z，wが正三角形を作る。w/z を求めなさい。

解答：cos(±π/3)+i sin(±π/3)

解説：同じ長さで偏角差が±π/3なので、w/zの偏角は±π/3、絶対値は1です。

問題：z²-(2+2i)z+4i=0 を解きなさい。

解答：z=2，2i

解説：積4i、和2+2iとなる2数は2と2iです。

問題：方程式 z³=8 を解き、複素数平面上の配置を説明しなさい。

解答：2，-1+√3i，-1-√3i。半径2の円上で120°ずつ離れる

解説：8=8(cos0+i sin0)。3乗根は偏角0,2π/3,4π/3です。

問題：|z-1|+|z+1|=4 が表す図形を説明しなさい。

解答：焦点1,-1、長軸4の楕円

解説：2点からの距離の和が一定なので楕円です。

問題：|z-2i|=2|z| が表す図形の方程式を求めなさい。

解答：x²+(y+2/3)²=4/9

解説：z=x+yi。x²+(y-2)²=4(x²+y²)。整理してx²+y²+4y/3=0、平方完成します。

問題：zが|z|=1を動くとき、w=z+1/z が動く範囲を求めなさい。

解答：実数で -2≦w≦2

解説：z=cosθ+i sinθなら1/z=共役z。w=2cosθです。

問題：z=1+i を中心2-i、倍率3、回転π/2で移した点を求めなさい。

解答：-4-4i

解説：中心c=2-i。新点は c+3i(z-c)。z-c=-1+2i、3i(-1+2i)=-6-3i。よって(2-i)+(-6-3i)=-4-4iです。

問題：点zが円|z|=2上を動くとき、w=(1+i)z の軌跡を求めなさい。

解答：|w|=2√2

解説：|w|=|1+i||z|=√2×2=2√2です。

問題：z³=1 の虚数解αについて、1+α+α²を求めなさい。

解答：0

解説：αは1でない3乗根なので α³-1=(α-1)(α²+α+1)=0 より0です。

問題：z+共役z=6，z・共役z=13 を満たすzを求めなさい。

解答：3±2i

解説：z=x+yi。2x=6よりx=3。x²+y²=13よりy=±2です。

問題：arg((z-1)/(z+1))=π/2 が表す図形を説明しなさい。

解答：点1と-1を直径の端点とする円の上半分（端点を除く）

解説：2点へのベクトルのなす角が90°なので円。偏角π/2で向きも決まります。

問題：z²+共役z=0 を満たす複素数zをすべて求めなさい。

解答：0，1，(-1±√3 i)/2

解説：z=x+yiで実虚部を比較。y(2x-1)=0などから、0,1と単位円上の2点が出ます。