配点：100点満点
問1〜問20：各2点 問21〜問40：各3点
難易度：前半から難問／後半は偏差値75超えレベル
次を計算しなさい。
−18−{−7−(−12＋5)}
次を計算しなさい。
(−3)²−4×(−5)＋(−2)³
次を計算しなさい。
48÷(−6)−{−3×(−7)−35}
a＝−2、b＝3 のとき、次の式の値を求めなさい。
3a²−2ab−b²
次の式を簡単にしなさい。
4(2x−3)−3(x＋5)
次の式を簡単にしなさい。
2a−3b−{5a−(4b−a)}
次の方程式を解きなさい。
5x−3＝2(x＋6)
次の方程式を解きなさい。
4(x−5)−3(x＋2)=7
次の方程式を解きなさい。
x/3＋x/6＝9
次の方程式を解きなさい。
0.4x−1.2＝0.1x＋3
ある数の4倍から7を引くと、その数の2倍に19を加えた数と等しくなった。その数を求めなさい。
縦がxcm、横が縦より7cm長い長方形の周の長さを文字式で表しなさい。
1個a円のノートを5冊、1本b円のペンを3本買い、1000円払った。おつりを文字式で表しなさい。
半径10cm、中心角72度のおうぎ形の面積を求めなさい。ただし円周率はπとする。
1辺が6cmの正方形の対角線の長さを求めなさい。
次の数列の15番目の数を求めなさい。
5, 9, 13, 17, 21, …
1から200までの整数のうち、12の倍数はいくつあるか求めなさい。
A、B、C、D、Eの5人から3人を選ぶ方法は何通りあるか求めなさい。
次の条件を満たす整数xをすべて答えなさい。
−4＜x≦6
次の式を工夫して計算しなさい。
999×84＋999×16
次の方程式を解きなさい。
3(2x−5)−2(x＋4)=5x−29
次の方程式を解きなさい。
x/2＋x/3＋x/6＝24
兄と弟の年齢の和は34歳である。5年前、兄の年齢は弟の年齢の2倍だった。現在の兄と弟の年齢を求めなさい。
定価の25％引きで買ったところ、代金は1350円だった。定価を求めなさい。
次の数列の30番目の数を求めなさい。
2, 6, 12, 20, 30, …
1から300までの整数のうち、4の倍数でも6の倍数でもある数はいくつあるか求めなさい。
整数x、yについて、x＋y＝16、xy＝63を満たすx、yをすべて求めなさい。
整数x、yについて、x−y＝4、xy＝45を満たすx、yを求めなさい。
次の条件を満たす50以下の正の整数をすべて求めなさい。
2で割ると1余り、3で割ると1余り、5で割ると1余る。
1から100までの整数のうち、3の倍数または5の倍数である数はいくつあるか求めなさい。
整数x、yについて、x²−y²＝56を満たす正の整数の組(x,y)をすべて求めなさい。
整数x、yについて、x＋y＝18、x²＋y²＝170を満たす整数の組(x,y)をすべて求めなさい。
縦と横の長さの差が7cmで、面積が120cm²の長方形がある。縦と横の長さを求めなさい。
ある数を3で割ると2余り、5で割ると4余り、7で割ると6余る。110以下でこの条件を満たす正の整数をすべて求めなさい。
1から50までの整数をすべて足した和から、1から25までの整数をすべて足した和を引きなさい。
正の整数x、yについて、x＋2y＝20を満たす組(x,y)は何組あるか求めなさい。
整数x、yについて、x²＋xy＋y²＝21を満たす正の整数の組(x,y)をすべて求めなさい。
整数x、yについて、x＋y＝10、x²−xy＋y²＝52を満たす整数の組(x,y)をすべて求めなさい。
整数x、yについて、x²−4y²＝45を満たす正の整数の組(x,y)をすべて求めなさい。
正の整数x、yについて、x²＋xy＋y²＝91を満たす組(x,y)をすべて求めなさい。
解答：−18
解説：−12＋5＝−7。−7−(−7)=0。よって−18−0＝−18。
解答：21
解説：(−3)²＝9、−4×(−5)=＋20、(−2)³=−8。よって9＋20−8＝21。
解答：6
解説：48÷(−6)=−8。−3×(−7)=21。21−35=−14。よって−8−(−14)=6。
解答：15
解説：a²=4なので3a²=12。ab=−6なので−2ab=12。b²=9なので、12＋12−9＝15。
解答：5x−27
解説：4(2x−3)=8x−12、−3(x＋5)=−3x−15。よって8x−12−3x−15＝5x−27。
解答：−4a＋b
解説：5a−(4b−a)=5a−4b＋a=6a−4b。よって2a−3b−(6a−4b)=−4a＋b。
解答：x＝5
解説：5x−3＝2x＋12。3x＝15。よってx＝5。
解答：x＝33
解説：4x−20−3x−6＝7。x−26＝7。よってx＝33。
解答：x＝18
解説：x/3＋x/6＝2x/6＋x/6＝3x/6＝x/2。x/2＝9よりx＝18。
解答：x＝14
解説：0.4x−1.2＝0.1x＋3。0.3x＝4.2。よってx＝14。
解答：13
解説：ある数をxとすると、4x−7＝2x＋19。2x＝26。よってx＝13。
解答：4x＋14 cm
解説：横はx＋7cm。周の長さは2{x＋(x＋7)}＝2(2x＋7)=4x＋14。
解答：1000−5a−3b 円
解説：ノート代は5a円、ペン代は3b円。合計は5a＋3b円なので、おつりは1000−5a−3b円。
解答：20π cm²
解説：半径10cmの円の面積は100π。中心角72度は360度の5分の1なので、100π÷5＝20π。
解答：6√2 cm
解説：正方形の対角線は、1辺×√2。よって6√2cm。
解答：61
解説：4ずつ増える等差数列。15番目は5＋4×14＝61。
解答：16個
解説：200÷12＝16余り8。12×1から12×16までなので16個。
解答：10通り
解説：5人から3人を選ぶ。5人から2人を選ばないと考えても同じなので、5×4÷2＝10通り。
解答：−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
解説：−4より大きく、6以下の整数をすべて並べる。−4は含まず、6は含む。
解答：99900
解説：999×84＋999×16＝999×(84＋16)=999×100=99900。
解答：x＝6
解説：左辺は6x−15−2x−8＝4x−23。4x−23＝5x−29。両辺から4xを引くと−23＝x−29。よってx＝6。
解答：x＝24
解説：x/2＋x/3＋x/6＝3x/6＋2x/6＋x/6＝6x/6＝x。よってx＝24。
解答：兄21歳、弟13歳
解説：現在の弟をx歳とすると兄は34−x歳。5年前は弟x−5、兄29−x。29−x＝2(x−5)。29−x＝2x−10。39＝3x。x＝13。弟13歳、兄21歳。
解答：1800円
解説：25％引きは定価の75％。定価をx円とすると0.75x＝1350。x＝1800。
解答：930
解説：2,6,12,20,30,…は n番目がn(n＋1)。30番目は30×31＝930。
解答：25個
解説：4の倍数でも6の倍数でもある数は、4と6の最小公倍数12の倍数。300÷12＝25。
解答：(7,9), (9,7)
解説：和が16、積が63になる整数は7と9。順番も考えるので、(7,9),(9,7)。
解答：(9,5), (−5,−9)
解説：x−y＝4よりx=y＋4。xy=45に代入するとy(y＋4)=45。y²＋4y−45=0。これは(y−5)(y＋9)=0。よってy=5または−9。y=5ならx=9、y=−9ならx=−5。
解答：1, 31
解説：2,3,5で割るとすべて1余るので、その数から1を引くと2,3,5すべてで割り切れる。最小公倍数は30。よって数は30k＋1。50以下では1,31。
解答：47個
解説：3の倍数は33個、5の倍数は20個。両方に数えた15の倍数は6個。よって33＋20−6＝47個。
解答：(15,13), (9,5)
解説：x²−y²=(x−y)(x＋y)=56。正の整数なので、x−yとx＋yは同じ偶奇になる。56の約数組で両方偶数になるのは、2と28、4と14。
x−y=2、x＋y=28よりx=15、y=13。
x−y=4、x＋y=14よりx=9、y=5。
よって(15,13),(9,5)。
解答：(7,11), (11,7)
解説：x＋y=18。x²＋y²=(x＋y)²−2xy。170=324−2xy。2xy=154なのでxy=77。和18、積77の整数は7と11。よって(7,11),(11,7)。
解答：8cmと15cm
解説：積が120、差が7の2数を探す。8×15=120、15−8=7。よって8cmと15cm。
解答：104
解説：3で割ると2余り、5で割ると4余り、7で割ると6余る数は、1を足すと3,5,7すべてで割り切れる。3,5,7の最小公倍数は105。よって数は105k−1。110以下の正の整数では104。
解答：950
解説：1から50までの和は(1＋50)×50÷2＝1275。1から25までの和は(1＋25)×25÷2＝325。1275−325＝950。
解答：9組
解説：x＋2y＝20。yが正の整数なので、y=1から9まで可能。y=10だとx=0になり正の整数でない。よって9組。
解答：(1,4), (4,1)
解説：正の整数で考える。x=1のとき、1＋y＋y²=21よりy²＋y−20=0。y=4。
x=4のとき、16＋4y＋y²=21よりy²＋4y−5=0。y=1。
それ以外では正の整数解はない。よって(1,4),(4,1)。
解答：(2,8), (8,2)
解説：x＋y=10。x²−xy＋y²=(x＋y)²−3xy。52=100−3xy。3xy=48なのでxy=16。和が10、積が16になる整数は2と8。よって(2,8),(8,2)。
解答：(23,11), (9,3), (7,1)
解説：x²−4y²=(x−2y)(x＋2y)=45。45の約数組を考える。
x−2y=1、x＋2y=45よりx=23、y=11。
x−2y=3、x＋2y=15よりx=9、y=3。
x−2y=5、x＋2y=9よりx=7、y=1。
よって3組。
解答：(1,9), (9,1), (5,6), (6,5)
解説：正の整数x、yで考える。
(1,9)のとき、1²＋1×9＋9²＝1＋9＋81＝91。
(9,1)のときも同じく91。
(5,6)のとき、5²＋5×6＋6²＝25＋30＋36＝91。
(6,5)のときも同じく91。
正の整数に限定しているため、負の数を含む組は答えに入れない。よって4組。