配点：100点満点
問1〜問20：各2点 問21〜問40：各3点
難易度：満点で偏差値75レベル／前半から難問／後半は上位層向け
x＝−2、y＝3 のとき、次の式の値を求めなさい。
2x²−3xy＋y²
次の式を簡単にしなさい。
3(2a−b)−2(a−3b)＋4(−a＋2b)
次の式を展開して簡単にしなさい。
(2x−3)(x＋5)−(x−4)²
次の式を因数分解しなさい。
x²−11x＋30
次の方程式を解きなさい。
3(2x−5)−4(x＋1)=x−23
次の方程式を解きなさい。
x/3−(x−2)/4=5
次の不等式を解きなさい。
2(3x−1)−5(x＋4)≦x−10
次の連立方程式を解きなさい。
2x＋5y=26
3x−2y=1
次の連立方程式を解きなさい。
4x−3y=26
2x＋5y=0
2つの数の和は34、差は8である。この2つの数を求めなさい。
点(−2,7)、点(4,−5)を通る直線の式を求めなさい。
直線 y=3x−2 に平行で、点(−1,5)を通る直線の式を求めなさい。
2つの直線 y=2x＋1 と y=−x＋10 の交点の座標を求めなさい。
x切片が6、y切片が−3である直線の式を求めなさい。
次の数列の20番目の数を求めなさい。
2, 10, 24, 44, 70, …
21から99までの奇数をすべて足した和を求めなさい。
1から300までの整数のうち、6の倍数または10の倍数であるが、15の倍数ではない数はいくつあるか求めなさい。
大小2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の和が8になる確率を求めなさい。
赤玉3個、白玉2個、青玉1個が入った袋から同時に2個取り出す。2個が同じ色になる確率を求めなさい。
三角形の3つの内角が x＋20°、2x−10°、3x＋20° である。xの値を求めなさい。
次の式を因数分解しなさい。
4x²−25
次の式を因数分解しなさい。
x²−2xy＋y²−9
次の方程式を解きなさい。
(x−3)(x＋5)=x²＋4x−21
次の式を簡単にしなさい。
√200−√50＋√18
次の方程式を解きなさい。
√(x＋5)=4
次の二次方程式を解きなさい。
x²−7x＋12=0
整数x、yについて、x＋y=14、xy=45を満たす組(x,y)をすべて求めなさい。
正の整数x、yについて、x²−y²=63を満たす組(x,y)をすべて求めなさい。
正の整数x、yについて、x²＋xy＋y²=43を満たす組(x,y)をすべて求めなさい。
縦と横の長さの差が6cmで、面積が135cm²の長方形がある。縦と横の長さを求めなさい。
3点 A(1,2)、B(7,2)、C(3,8) を頂点とする三角形ABCの面積を求めなさい。
x切片が8、y切片が4である直線の式を求めなさい。
2点 A(−1,2)、B(5,10) の距離を求めなさい。
半径12cm、中心角135°のおうぎ形の面積を求めなさい。ただし円周率はπとする。
半径3cm、高さ5cmの円柱の表面積を求めなさい。ただし円周率はπとする。
1つの内角が150°である正多角形は正何角形か答えなさい。
7人の中から委員長1人、副委員長1人を選ぶ方法は何通りあるか求めなさい。ただし同じ人が両方を兼ねることはできない。
A、B、C、Dの4人を横一列に並べるとき、AとBが隣り合わない並べ方は何通りあるか求めなさい。
正の整数x、yについて、x＋2y=30を満たすとき、xyの最大値を求めなさい。
正の整数x、yについて、
x＋y=12
xy=35
を満たす組(x,y)をすべて求めなさい。
解答：35
解説：
x＝−2、y＝3を代入する。
2x²−3xy＋y²
=2×(−2)²−3×(−2)×3＋3²
=2×4＋18＋9
=8＋18＋9
=35
解答：11b
解説：
3(2a−b)−2(a−3b)＋4(−a＋2b)
=6a−3b−2a＋6b−4a＋8b
=(6a−2a−4a)+(−3b＋6b＋8b)
=0a＋11b
=11b
解答：x²＋15x−31
解説：
(2x−3)(x＋5)=2x²＋10x−3x−15=2x²＋7x−15
(x−4)²=x²−8x＋16
よって、
2x²＋7x−15−(x²−8x＋16)
=2x²＋7x−15−x²＋8x−16
=x²＋15x−31
解答：(x−5)(x−6)
解説：
積が30、和が−11になる2数を考える。
−5と−6なので、
x²−11x＋30=(x−5)(x−6)
解答：x=−4
解説：
3(2x−5)−4(x＋1)=x−23
6x−15−4x−4=x−23
2x−19=x−23
x=−4
解答：x=54
解説：
x/3−(x−2)/4=5
両辺に12をかける。
4x−3(x−2)=60
4x−3x＋6=60
x＋6=60
x=54
解答：すべての数
解説：
2(3x−1)−5(x＋4)≦x−10
6x−2−5x−20≦x−10
x−22≦x−10
両辺からxを引くと、
−22≦−10
これは常に正しい。
したがって解はすべての数。
解答：x=3、y=4
解説：
2x＋5y=26
3x−2y=1
1つ目を2倍する。
4x＋10y=52
2つ目を5倍する。
15x−10y=5
足すと、
19x=57
x=3
2×3＋5y=26
6＋5y=26
y=4
解答：x=5、y=−2
解説：
2x＋5y=0 より 2x=−5y。
x=5、y=−2を確認すると、
4×5−3×(−2)=20＋6=26
2×5＋5×(−2)=10−10=0
よって x=5、y=−2。
解答：21と13
解説：
大きい数をx、小さい数をyとする。
x＋y=34
x−y=8
2式を足すと、
2x=42
x=21
21＋y=34より、y=13。
解答：y=−2x＋3
解説：
傾きは、
(−5−7)÷{4−(−2)}=−12÷6=−2
y=−2x＋b とおく。
点(4,−5)を代入すると、
−5=−2×4＋b
−5=−8＋b
b=3
よって y=−2x＋3。
解答：y=3x＋8
解説：
平行な直線は傾きが等しい。
したがって y=3x＋b とおく。
点(−1,5)を代入すると、
5=3×(−1)+b
5=−3＋b
b=8
よって y=3x＋8。
解答：(3,7)
解説：
交点では2つのyの値が等しい。
2x＋1=−x＋10
3x=9
x=3
y=2×3＋1=7
よって交点は(3,7)。
解答：y=1/2x−3
解説：
x切片が6なので点(6,0)を通る。
y切片が−3なので点(0,−3)を通る。
傾きは、
{0−(−3)}÷(6−0)=3÷6=1/2
y切片が−3だから、
y=1/2x−3。
解答：1180
解説：
数列は、
2, 10, 24, 44, 70, …
差は、8,14,20,26,…で、差の差が6。
この数列は n番目が 3n²−n で表せる。
20番目は、
3×20²−20
=3×400−20
=1200−20
=1180。
解答：2400
解説：
21から99までの奇数は、
21,23,25,…,99。
個数は、
(99−21)÷2＋1=40個。
平均は、
(21＋99)÷2=60。
よって和は、
60×40=2400。
解答：60個
解説：
6の倍数は、300÷6=50個。
10の倍数は、300÷10=30個。
6と10の公倍数は30の倍数なので、300÷30=10個。
よって6または10の倍数は、
50＋30−10=70個。
このうち15の倍数でもあるものは、6または10との共通条件から30の倍数なので10個。
したがって、
70−10=60個。
解答：5/36
解説：
さいころ2個の出方は全部で36通り。
和が8になるのは、
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)
の5通り。
よって確率は5/36。
解答：4/15
解説：
全部で6個から2個選ぶので、
6C2=15通り。
同じ色になるのは、
赤2個：3C2=3通り
白2個：2C2=1通り
青は1個しかないので不可。
よって同じ色は4通り。
確率は4/15。
解答：x=25
解説：
三角形の内角の和は180°。
(x＋20)+(2x−10)+(3x＋20)=180
6x＋30=180
6x=150
x=25。
解答：(2x−5)(2x＋5)
解説：
4x²−25 は、
(2x)²−5²
と見られる。
a²−b²=(a−b)(a＋b)より、
4x²−25=(2x−5)(2x＋5)。
解答：(x−y−3)(x−y＋3)
解説：
x²−2xy＋y²=(x−y)²。
よって、
x²−2xy＋y²−9
=(x−y)²−3²
=(x−y−3)(x−y＋3)。
解答：x=3
解説：
左辺を展開する。
(x−3)(x＋5)=x²＋2x−15
したがって、
x²＋2x−15=x²＋4x−21
両辺からx²を引く。
2x−15=4x−21
6=2x
x=3。
解答：8√2
解説：
√200=√(100×2)=10√2
√50=√(25×2)=5√2
√18=√(9×2)=3√2
よって、
10√2−5√2＋3√2
=8√2。
解答：x=11
解説：
√(x＋5)=4
両辺を2乗する。
x＋5=16
x=11。
解答：x=3,4
解説：
x²−7x＋12=0
積が12、和が−7になる2数は−3と−4。
よって、
(x−3)(x−4)=0
x=3,4。
解答：(x,y)=(5,9),(9,5)
解説：
和が14、積が45になる整数を考える。
5＋9=14
5×9=45
順番も考えるので、
(5,9),(9,5)。
解答：(32,31),(12,9),(8,1)
解説：
x²−y²=(x−y)(x＋y)=63。
63の約数の組を考える。
x−y=1、x＋y=63 のとき、x=32、y=31。
x−y=3、x＋y=21 のとき、x=12、y=9。
x−y=7、x＋y=9 のとき、x=8、y=1。
よって、
(32,31),(12,9),(8,1)。
解答：(1,6),(6,1)
解説：
正の整数で考える。
x=1 のとき、
1＋y＋y²=43
y²＋y−42=0
(y−6)(y＋7)=0 より y=6。
x=6 のとき、対称性より y=1。
他の正の整数では43にならない。
よって、(1,6),(6,1)。
解答：9cmと15cm
解説：
短い方をxcm、長い方をx＋6cmとする。
x(x＋6)=135
x²＋6x−135=0
(x＋15)(x−9)=0
長さなので x=9。
よって、9cmと15cm。
解答：18
解説：
A(1,2)、B(7,2)なので、ABは横の長さ6。
C(3,8)から直線ABまでの高さは、8−2=6。
三角形の面積は、
6×6÷2=18。
解答：y=−1/2x＋4
解説：
x切片が8なので点(8,0)を通る。
y切片が4なので点(0,4)を通る。
傾きは、
(0−4)÷(8−0)=−4÷8=−1/2。
よって、
y=−1/2x＋4。
解答：10
解説：
2点間の距離を求める。
x座標の差は、5−(−1)=6。
y座標の差は、10−2=8。
したがって、
√(6²＋8²)=√(36＋64)=√100=10。
解答：54π cm²
解説：
半径12cmの円の面積は、
12²π=144π。
中心角135°は360°の 135/360=3/8。
よって、
144π×3/8=54π。
解答：48π cm²
解説：
円柱の表面積は、
底面2つ＋側面。
底面2つは、
2×π×3²=18π。
側面は、円周×高さなので、
2π×3×5=30π。
合計は、
18π＋30π=48π。
解答：正十二角形
解説：
正n角形の1つの内角は、
180−360/n。
これが150°なので、
180−360/n=150
360/n=30
n=12。
よって正十二角形。
解答：42通り
解説：
委員長は7人から選べる。
副委員長は残り6人から選べる。
役職が違うので順番を区別する。
7×6=42通り。
解答：12通り
解説：
4人の並べ方は全部で、
4!=24通り。
AとBが隣り合う場合を考える。
AとBを1つのかたまりとすると、
かたまり、C、D の3つを並べるので3!=6通り。
さらにAとBの中の並び方はAB、BAの2通り。
よって隣り合う並べ方は、
6×2=12通り。
したがって隣り合わない並べ方は、
24−12=12通り。
解答：112
解説：
x＋2y=30 より、
x=30−2y。
xy=(30−2y)y
=30y−2y²。
yは正の整数で、xも正の整数。
値を調べると、
y=7 のとき x=16、xy=112。
y=8 のとき x=14、xy=112。
これが最大。
よって最大値は112。
解答：(x,y)=(5,7),(7,5)
解説：
和が12、積が35になる正の整数を考える。
5＋7=12
5×7=35
順番も考えるので、
(5,7),(7,5)。