配点：100点満点
問1〜20：各2点 問21〜40：各3点
合計：2点×20問＝40点、3点×20問＝60点、合計100点
x²−6x＋5＝0 を解きなさい。
√98−2√8 を簡単にしなさい。
次を因数分解しなさい。
2x²−11x＋12
関数 y＝−2x² において、x＝−3 のときの y の値を求めなさい。
次の連立方程式を解きなさい。
3x＋2y＝11
x−y＝1
半径4cmの球の体積を求めなさい。
次の不等式を解きなさい。
5−2x≦13
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の面積を求めなさい。
サイコロを2回投げるとき、和が5になる確率を求めなさい。
x²−25y² を因数分解しなさい。
次を計算しなさい。
(2√3−√12)²
次の2次方程式を解きなさい。
3x²−14x−5＝0
関数 y＝x²−4x＋7 の頂点の座標を求めなさい。
三平方の定理を用いて、辺が8cm、15cmの直角三角形の斜辺を求めなさい。
次を展開しなさい。
(3x−2y)²
次を因数分解しなさい。
x²＋8x−20
次の連立方程式を解きなさい。
2x−3y＝7
5x＋2y＝−4
関数 y＝ax² において、x＝4 のとき y＝−32 である。a の値を求めなさい。
半径5cm、中心角216°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
次の不等式を解きなさい。
3(2x−1)−5＞4x＋7
次を簡単にしなさい。
√75＋2√12−√27
一次関数 y＝−3x＋5 と y＝2x−10 の交点を求めなさい。
袋の中に赤玉5個、白玉3個、青玉2個がある。1個取り出すとき、白玉または青玉が出る確率を求めなさい。
次の式を展開しなさい。
(x−5)(x²＋5x＋25)
次の2次方程式を解きなさい。
x²−10x＋9＝0
次の関数について答えなさい。
y＝x²−6x＋1
① 頂点の座標
② 最小値
次を因数分解しなさい。
x⁴−16
次の方程式を解きなさい。
x⁴−10x²＋9＝0
次の整数解をすべて求めなさい。
x²−y²＝84
次の連立方程式を解きなさい。
x＋y＝8
xy＝12
サイコロを2回投げるとき、積が偶数になる確率を求めなさい。
ある数を20％値上げしたあと、さらに20％値下げすると1920円になった。もとの値段を求めなさい。
半径9cm、中心角240°のおうぎ形の面積を求めなさい。
次の式を簡単にしなさい。
(√5＋√2)(√5−√2)
次の関数について答えなさい。
y＝−x²＋8x−7
最大値を求めなさい。
次の整数解をすべて求めなさい。
x²−4y²＝45
次の方程式を解きなさい。
x⁴−13x²＋36＝0
1辺6cmの正方形の対角線の長さを求めなさい。
時速60kmで2時間進んだあと、時速80kmで3時間進んだ。平均時速を求めなさい。
整数 x,y について、
x²−6xy＋11y²−34x＋66y＝−451
を満たすすべての整数解を求めなさい。
解答：x＝1、5
解説：x²−6x＋5＝(x−1)(x−5)。よって x＝1、5。
解答：3√2
解説：√98＝7√2、√8＝2√2。よって 7√2−2×2√2＝3√2。
解答：(2x−3)(x−4)
解説：2x²−11x＋12 は、たすき掛けで −8x−3x＝−11x となるので、(2x−3)(x−4)。
解答：−18
解説：y＝−2×(−3)²＝−2×9＝−18。
解答：x＝13/5、y＝8/5
解説：x−y＝1 より x＝y＋1。3(y＋1)＋2y＝11、5y＝8、y＝8/5。よって x＝13/5。
解答：256π/3 cm³
解説：球の体積は 4/3πr³。半径4cmなので、4/3π×4³＝256π/3。
解答：x≧−4
解説：5−2x≦13 より −2x≦8。負の数で割るので不等号が逆になり、x≧−4。
解答：12π cm²
解説：円の面積は36π。中心角120°は360°の1/3なので、36π×1/3＝12π。
解答：1/9
解説：全36通り。和が5になるのは、(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) の4通り。4/36＝1/9。
解答：(x−5y)(x＋5y)
解説：x²−25y²＝x²−(5y)²。差の平方より (x−5y)(x＋5y)。
解答：0
解説：√12＝2√3 なので、2√3−√12＝0。よって0²＝0。
解答：x＝5、−1/3
解説：3x²−14x−5＝(3x＋1)(x−5)。よって x＝−1/3、5。
解答：(2,3)
解説：x²−4x＋7＝(x−2)²＋3。よって頂点は (2,3)。
解答：17cm
解説：斜辺²＝8²＋15²＝64＋225＝289。よって斜辺は17cm。
解答：9x²−12xy＋4y²
解説：(3x−2y)²＝(3x)²−2×3x×2y＋(2y)²＝9x²−12xy＋4y²。
解答：(x＋10)(x−2)
解説：かけて−20、たして8になる数は10と−2。よって (x＋10)(x−2)。
解答：x＝2/19、y＝−43/19
解説：2x−3y＝7を2倍して 4x−6y＝14。5x＋2y＝−4を3倍して 15x＋6y＝−12。足すと19x＝2。よって x＝2/19。これを2x−3y＝7に代入して、4/19−3y＝7。−3y＝129/19、y＝−43/19。
解答：a＝−2
解説：−32＝a×4²＝16a。よって a＝−2。
解答：6πcm
解説：円周は10π。中心角216°なので、10π×216/360＝6π。
解答：x＞15/2
解説：6x−3−5＞4x＋7。6x−8＞4x＋7。2x＞15。よって x＞15/2。
解答：6√3
解説：√75＝5√3、√12＝2√3、√27＝3√3。よって 5√3＋4√3−3√3＝6√3。
解答：(3,−4)
解説：−3x＋5＝2x−10。−5x＝−15より x＝3。y＝2×3−10＝−4。
解答：1/2
解説：全部で10個。白または青は3＋2＝5個。よって 5/10＝1/2。
解答：x³−125
解説：(x−5)(x²＋5x＋25) は立方の差の公式。x³−5³＝x³−125。
解答：x＝1、9
解説：x²−10x＋9＝(x−1)(x−9)。よって x＝1、9。
解答：① 頂点(3,−8) ② 最小値−8
解説：x²−6x＋1＝(x−3)²−8。上に開く放物線なので、頂点は(3,−8)、最小値は−8。
解答：(x−2)(x＋2)(x²＋4)
解説：x⁴−16＝(x²−4)(x²＋4)。さらに x²−4＝(x−2)(x＋2)。
解答：x＝±1、±3
解説：x²＝t とおくと、t²−10t＋9＝0。(t−1)(t−9)＝0。よって x²＝1、9。したがって x＝±1、±3。
解答：(22,20)、(22,−20)、(−22,20)、(−22,−20)、(10,4)、(10,−4)、(−10,4)、(−10,−4)
解説：x²−y²＝(x−y)(x＋y)＝84。x−y と x＋y は同じ偶奇なので、偶数同士の組を考える。2×42、6×14 から、(22,20)、(10,4) が出る。符号の組み合わせも含めて上の8組。
解答：(2,6)、(6,2)
解説：x＋y＝8、xy＝12 より、x,y は t²−8t＋12＝0 の2解。(t−2)(t−6)＝0 なので、2と6。
解答：3/4
解説：積が奇数になるのは両方とも奇数のときだけ。奇数は3個なので、奇数×奇数の確率は 3/6×3/6＝1/4。よって積が偶数は 1−1/4＝3/4。
解答：2000円
解説：もとの値段をx円とする。20％値上げで1.2x、その後20％値下げで0.8倍。つまり0.96x＝1920。x＝2000。
解答：54πcm²
解説：円の面積は81π。中心角240°は360°の2/3なので、81π×2/3＝54π。
解答：3
解説：(√5＋√2)(√5−√2)＝5−2＝3。
解答：9
解説：y＝−x²＋8x−7＝−(x−4)²＋9。下に開く放物線なので最大値は9。
解答：(23,11)、(23,−11)、(−23,11)、(−23,−11)、(9,3)、(9,−3)、(−9,3)、(−9,−3)、(7,1)、(7,−1)、(−7,1)、(−7,−1)
解説：x²−4y²＝(x−2y)(x＋2y)＝45。45の因数の組は1×45、3×15、5×9。これらから、(23,11)、(9,3)、(7,1) が出る。符号の組み合わせも含めると12組。
解答：x＝±2、±3
解説：x²＝t とおくと、t²−13t＋36＝0。(t−4)(t−9)＝0。よって x²＝4、9。したがって x＝±2、±3。
解答：6√2cm
解説：正方形の対角線は1辺×√2。よって 6√2cm。
解答：72km/h
解説：60km/hで2時間進むと120km。80km/hで3時間進むと240km。合計360kmを5時間なので、平均時速は360÷5＝72km/h。
解答：(44,9)
解説：x＝44、y＝9 を代入すると、
44²−6×44×9＋11×9²−34×44＋66×9
＝1936−2376＋891−1496＋594
＝−451。
また、式を整理すると整数解の候補は有限個に絞られ、条件を満たす整数解は (44,9) のみ。
問1〜20：各2点 × 20問 ＝ 40点
問21〜40：各3点 × 20問 ＝ 60点
合計：100点