問題：yはxに比例し、x=4のときy=18である。比例の式を求めなさい。

解答：y=9/2x

解説：比例はy=ax。18=4aよりa=18/4=9/2です。

問題：yはxに反比例し、x=6のときy=5である。反比例の式を求めなさい。

解答：y=30/x

解説：反比例はy=a/x。5=a/6よりa=30です。

問題：比例 y=-3x について、xの値が-4から2まで増加したときのyの増加量を求めなさい。

解答：-18

解説：xの増加量は6。比例定数が-3なのでyの増加量は-3×6=-18です。

問題：反比例 y=24/x について、x=3のときのyの値と、x=8のときのyの値をそれぞれ求めなさい。

解答：x=3のとき8、x=8のとき3

解説：24÷3=8、24÷8=3です。

問題：方程式 5x-7=2x+14 を解きなさい。

解答：x=7

解説：5x-2x=14+7より3x=21、x=7です。

問題：方程式 3(x-4)=2x+9 を解きなさい。

解答：x=21

解説：3x-12=2x+9よりx=21です。

問題：ある数xの3倍から5をひくと、xに17をたした数に等しくなる。xを求めなさい。

解答：x=11

解説：3x-5=x+17。2x=22よりx=11です。

問題：1個120円の品物をx個買い、500円出したところ、おつりが140円だった。xを求めなさい。

解答：x=3

解説：支払った代金は500-140=360円。120x=360よりx=3です。

問題：比例 y=ax のグラフが点(-3,12)を通る。aを求めなさい。

解答：a=-4

解説：12=a×(-3)よりa=-4です。

問題：反比例 y=a/x のグラフが点(-4,9)を通る。aを求めなさい。

解答：a=-36

解説：9=a/(-4)よりa=-36です。

問題：半径9cmの円の円周の長さを求めなさい。ただし円周率はπとする。

解答：18πcm

解説：円周は2πr。2π×9=18πcmです。

問題：半径8cm、中心角135°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。

解答：6πcm

解説：弧の長さは2πr×中心角/360。16π×135/360=6πcmです。

問題：半径10cm、中心角72°のおうぎ形の面積を求めなさい。

解答：20πcm²

解説：面積はπr²×中心角/360。100π×72/360=20πcm²です。

問題：縦6cm、横10cm、高さ12cmの直方体の体積を求めなさい。

解答：720cm³

解説：6×10×12=720cm³です。

問題：底面の半径が5cm、高さが12cmの円柱の体積を求めなさい。

解答：300πcm³

解説：円柱の体積は底面積×高さ。25π×12=300πcm³です。

問題：底面の半径が6cm、高さが15cmの円すいの体積を求めなさい。

解答：180πcm³

解説：円すいの体積は底面積×高さ÷3。36π×15÷3=180πcm³です。

問題：半径4cmの球の体積を求めなさい。

解答：256π/3 cm³

解説：球の体積は4/3πr³。4/3π×64=256π/3 cm³です。

問題：半径7cmの球の表面積を求めなさい。

解答：196πcm²

解説：球の表面積は4πr²。4π×49=196πcm²です。

問題：正六角形の内角の和を求めなさい。

解答：720°

解説：n角形の内角の和は180(n-2)。正六角形では180×4=720°です。

問題：1つの外角が24°である正多角形の辺の数を求めなさい。

解答：15

解説：正多角形の外角の和は360°。360÷24=15です。

問題：比例 y=ax で、xが2から7まで増加すると、yは-15だけ変化した。aを求めなさい。

解答：a=-3

解説：xの増加量は5。yの増加量はa×5なので、5a=-15、a=-3です。

問題：反比例 y=a/x で、x=3のときのyの値が、x=9のときのyの値より12大きい。aを求めなさい。

解答：a=54

解説：a/3-a/9=12。2a/9=12よりa=54です。

問題：方程式 4(2x-3)-5(x+1)=2x+9 を解きなさい。

解答：x=26

解説：8x-12-5x-5=2x+9。3x-17=2x+9よりx=26です。

問題：兄は家から駅まで毎分80mで歩き、弟は兄が出発して5分後に毎分120mで同じ道を追いかけた。弟が兄に追いつくのは、弟が出発してから何分後か求めなさい。

解答：10分後

解説：兄は5分で400m先にいる。1分ごとに弟は兄より40m多く進むので、400÷40=10分です。

問題：半径12cm、中心角150°のおうぎ形について、弧の長さと面積をそれぞれ求めなさい。

解答：弧の長さ10πcm、面積60πcm²

解説：弧は24π×150/360=10π。面積は144π×150/360=60πです。

問題：円柱の底面の半径を3倍、高さを1/2倍にすると、体積はもとの何倍になるか求めなさい。

解答：9/2倍

解説：体積は半径の2乗と高さに比例します。3²×1/2=9/2倍です。

問題：底面の半径が6cmの円すいの体積が96πcm³である。この円すいの高さを求めなさい。

解答：8cm

解説：体積は36π×高さ÷3=12πh。12πh=96πよりh=8です。

問題：半径が3cmの球Aと半径が6cmの球Bがある。球Bの体積は球Aの体積の何倍か求めなさい。

解答：8倍

解説：球の体積は半径の3乗に比例します。半径が2倍なので体積は2³=8倍です。

問題：正多角形の1つの内角が156°である。この正多角形の辺の数を求めなさい。

解答：15

解説：外角は180-156=24°。360÷24=15です。

問題：ある立体は、縦8cm、横10cm、高さ12cmの直方体から、縦4cm、横5cm、高さ12cmの直方体をくりぬいた形である。この立体の体積を求めなさい。

解答：720cm³

解説：大きい直方体は8×10×12=960。くりぬく部分は4×5×12=240。960-240=720cm³です。

問題：比例 y=ax と反比例 y=b/x がともに点(3,12)を通る。それぞれの式を求め、さらにx=6のときの2つのyの値の差を求めなさい。

解答：比例 y=4x、反比例 y=36/x、差は18

解説：比例は12=3aよりa=4。反比例は12=b/3よりb=36。x=6で比例は24、反比例は6なので差は18です。

問題：反比例 y=a/x で、x=2のときのyと、x=8のときのyの和が15である。aを求めなさい。

解答：a=24

解説：a/2+a/8=15。5a/8=15よりa=24です。

問題：方程式 2(3x-5)-3(2x-7)=x-4 を解きなさい。解が存在するかどうかも含めて答えなさい。

解答：x=15

解説：左辺は6x-10-6x+21=11。11=x-4よりx=15です。

問題：ある数xについて、xの2倍に5をたした数の3倍は、xの5倍から7をひいた数に等しい。xを求めなさい。

解答：x=-22

解説：3(2x+5)=5x-7。6x+15=5x-7よりx=-22です。

問題：半径10cm、中心角x°のおうぎ形の弧の長さが5πcmである。xを求め、そのおうぎ形の面積も求めなさい。

解答：x=90、面積25πcm²

解説：弧は20π×x/360=5π。x=90。面積は100π×90/360=25πcm²です。

問題：底面の半径が4cm、高さがhcmの円柱と、底面の半径が6cm、高さが8cmの円すいの体積が等しい。hを求めなさい。

解答：h=6

解説：円柱は16πh。円すいは36π×8÷3=96π。16πh=96πよりh=6です。

問題：半径rcmの球の表面積と体積の数値が等しい。rを求めなさい。

解答：r=3

解説：表面積4πr²、体積4/3πr³。4πr²=4/3πr³より、r=3です。

問題：正n角形の内角の和が外角の和の5倍である。nを求めなさい。

解答：n=12

解説：外角の和は360°。内角の和は180(n-2)。180(n-2)=5×360よりn-2=10、n=12です。

問題：円すいの底面の半径を2倍、高さを3/4倍にした。このとき、体積はもとの何倍になるか。また表面積は同じ倍率になるとは限らない理由を説明しなさい。

解答：体積は3倍。表面積は底面積と側面積の変化のしかたが違うため、同じ倍率とは限らない。

解説：体積は半径の2乗と高さに比例するので、2²×3/4=3倍です。表面積には底面積πr²と側面積が含まれ、母線の長さも変わるため単純に3倍とはいえません。

問題：半径6cmの半球がある。この半球の曲面部分の面積と、底面を含めた表面積をそれぞれ求めなさい。

解答：曲面部分72πcm²、底面を含めた表面積108πcm²

解説：球の表面積は4πr²なので半球の曲面はその半分で2πr²=72π。底面はπr²=36πなので合計108πです。