問題：3a−2b−(−5a+7b) を計算しなさい。

解答：8a−9b

解説：かっこを外すと3a−2b+5a−7b。同類項をまとめて8a−9bです。

問題：(12x²y−18xy²)÷6xy を計算しなさい。

解答：2x−3y

解説：各項を6xyで割ります。12x²y÷6xy=2x、−18xy²÷6xy=−3yです。

問題：(2x−3)(4)−3(x+5) を展開して簡単にしなさい。

解答：5x−27

解説：4(2x−3)=8x−12、−3(x+5)=−3x−15。合わせて5x−27です。

問題：x=−2、y=5 のとき、3x²−2xy+y の値を求めなさい。

解答：37

解説：3×4−2×(−2)×5+5=12+20+5=37です。

問題：等式 S=1/2 ah を h について解きなさい。

解答：h=2S/a

解説：両辺を2倍して2S=ah。aで割ってh=2S/aです。

問題：連立方程式 2x+y=11、x−y=1 を解きなさい。

解答：x=4、y=3

解説：2式を加えると3x=12よりx=4。x−y=1に代入してy=3です。

問題：連立方程式 3x−2y=4、x+2y=12 を解きなさい。

解答：x=4、y=4

解説：2式を加えると4x=16よりx=4。x+2y=12に代入してy=4です。

問題：1個120円のノートと1本80円のペンを合わせて15個買い、代金は1560円だった。ノートの個数を求めなさい。

解答：9個

解説：ノートをx個、ペンをy本とするとx+y=15、120x+80y=1560。y=15−xを代入し、40x=360よりx=9です。

問題：AさんとBさんの所持金の合計は2400円で、AさんはBさんより360円多い。Aさんの所持金を求めなさい。

解答：1380円

解説：Aをx円、Bをy円とするとx+y=2400、x−y=360。加えると2x=2760よりx=1380です。

問題：2けたの整数がある。十の位と一の位の数の和は11で、十の位と一の位を入れかえると、もとの数より27小さくなる。もとの整数を求めなさい。

解答：74

解説：十の位をx、一の位をyとするとx+y=11、10y+x=10x+y−27。9x−9y=27よりx−y=3。解いてx=7,y=4です。

問題：一次関数 y=3x−5 で、xが2から6まで増えるときのyの増加量を求めなさい。

解答：12

解説：xの増加量は4。変化の割合が3なので、yの増加量は3×4=12です。

問題：一次関数 y=ax+4 が点(3,13)を通る。aを求めなさい。

解答：3

解説：13=3a+4より3a=9、a=3です。

問題：2点(−1,5)、(3,−7)を通る直線の変化の割合を求めなさい。

解答：−3

解説：(−7−5)/(3−(−1))=−12/4=−3です。

問題：傾きが−2で、点(4,1)を通る直線の式を求めなさい。

解答：y=−2x+9

解説：y=−2x+bに(4,1)を代入し、1=−8+bよりb=9です。

問題：直線 y=1/2x−3 と y=−x+6 の交点の座標を求めなさい。

解答：(6,0)

解説：1/2x−3=−x+6より3/2x=9、x=6。y=0です。

問題：三角形の内角が x°、(x+20)°、(2x+10)°である。最大の角を求めなさい。

解答：85°

解説：内角の和よりx+(x+20)+(2x+10)=180。4x+30=180でx=37.5。最大は2x+10=85°です。

問題：平行線に1本の直線が交わっている。同位角の1つが68°のとき、その角と同じ側の内角のうち、となり合う角の大きさを求めなさい。

解答：112°

解説：平行線の同位角は等しいので対応する角は68°。となり合う内角は一直線上で180°になるため、180−68=112°です。

問題：底辺10cm、高さ6cmの平行四辺形と面積が等しく、高さが8cmの三角形の底辺を求めなさい。

解答：15cm

解説：平行四辺形の面積は10×6=60。三角形は底辺×8÷2=60なので、底辺=15cmです。

問題：半径6cm、中心角150°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。

解答：5πcm

解説：円周は12π。150/360=5/12なので、弧の長さは12π×5/12=5πcmです。

問題：半径9cm、中心角120°のおうぎ形の面積を求めなさい。

解答：27πcm²

解説：円の面積は81π。120/360=1/3なので、81π×1/3=27πcm²です。

問題：連立方程式 0.3x+0.2y=1.5、2x−y=3 を解きなさい。

解答：x=3、y=3

解説：1式を10倍して3x+2y=15。2式からy=2x−3。代入して3x+2(2x−3)=15、7x=21よりx=3、y=3です。

問題：連立方程式 2(x+y)=3x−1、3(x−y)=x+5 を解きなさい。

解答：x=7、y=3

解説：1式は2x+2y=3x−1よりx−2y=1。2式は3x−3y=x+5より2x−3y=5。x=2y+1を代入して4y+2−3y=5、y=3、x=7です。

問題：一次関数 y=ax+b で、xが−2から4まで増えるとyは15から−3まで減った。またx=4のときy=−3である。この式を求めなさい。

解答：y=−3x+9

解説：変化の割合は(−3−15)/(4−(−2))=−18/6=−3。y=−3x+bに(4,−3)を代入し、−3=−12+bよりb=9です。

問題：直線 y=2x−7 と x軸・y軸で囲まれる三角形の面積を求めなさい。

解答：49/4

解説：x軸との交点はy=0よりx=7/2。y軸との交点は−7。面積は1/2×7/2×7=49/4です。

問題：兄は家を出て毎分70mで歩いた。弟は兄が出発してから6分後に毎分100mで追いかけた。弟が兄に追いつくのは、弟が出発してから何分後か。

解答：14分後

解説：兄の先行距離は70×6=420m。1分で100−70=30mずつ縮まるので、420÷30=14分です。

問題：A地点からB地点まで、行きは時速4km、帰りは時速6kmで進んだ。往復に2時間30分かかった。片道の距離を求めなさい。

解答：6km

解説：距離をxkmとするとx/4+x/6=2.5。両辺12倍で3x+2x=30、x=6です。

問題：三角形ABCで、∠A=2x+20°、∠B=3x+14°、∠C=x−10°である。最も大きい角を求めなさい。

解答：92°

解説：和が180°より2x+20+3x+14+x−10=180。6x+24=180でx=26。角は72°、92°、16°なので最大は92°です。

問題：正六角形の1つの内角の大きさを、理由を含めて求めなさい。

解答：120°

解説：正六角形の外角は360÷6=60°。内角は180−60=120°です。

問題：半径12cmのおうぎ形の弧の長さが8πcmである。中心角を求めなさい。

解答：120°

解説：円周は24π。弧の割合は8π/24π=1/3。中心角は360×1/3=120°です。

問題：円すいの展開図で、側面のおうぎ形の半径が18cm、中心角が80°である。底面の半径を求めなさい。

解答：4cm

解説：側面の弧の長さは2π×18×80/360=8π。これが底面の円周なので2πr=8π、r=4です。

問題：連立方程式 ax+2y=10、3x−y=4 の解が x=2 である。aとyを求めなさい。

解答：a=3、y=2

解説：3×2−y=4よりy=2。ax+2y=10にx=2,y=2を代入し、2a+4=10よりa=3です。

問題：2つの直線 y=mx+2、y=−2x+8 の交点のx座標が3である。mを求めなさい。

解答：0

解説：交点のx座標が3なので、2本のyの値は等しい。3m+2=−6+8=2より3m=0、m=0です。

問題：直線 y=−1/3x+5 と直線 y=2x−2 の交点を通り、傾きが4の直線の式を求めなさい。

解答：y=4x−8

解説：交点は−1/3x+5=2x−2。7=7/3xよりx=3、y=4。傾き4で(3,4)を通るのでy=4x+b、4=12+bよりb=−8です。

問題：ある店で商品Aを3個、商品Bを2個買うと1120円、商品Aを2個、商品Bを5個買うと1810円である。商品AとBの値段をそれぞれ求めなさい。

解答：A=180円、B=290円

解説：Aをx円、Bをy円とすると3x+2y=1120、2x+5y=1810。1式を5倍、2式を2倍して15x+10y=5600、4x+10y=3620。差より11x=1980、x=180。3×180+2y=1120よりy=290です。

問題：Aさんは分速80mで家を出た。10分後、Bさんが同じ道を分速120mで追いかけ、Aさんに追いついた。その地点は家から何mか。

解答：2400m

解説：Aの先行距離は80×10=800m。1分で40m縮まるので、追いつくまで20分。地点は120×20=2400mです。

問題：一次関数 y=ax+b で、x=−3のときy=10、x=5のときy=−6である。x軸との交点のx座標を求めなさい。

解答：2

解説：傾きは(−6−10)/(5−(−3))=−16/8=−2。y=−2x+bに(−3,10)を代入してb=4。0=−2x+4よりx=2です。

問題：三角形の3つの外角のうち、1つずつ選んだ和が360°になる理由を、内角との関係を使って説明しなさい。

解答：各外角は180°−内角であり、3つの和は540°−180°=360°になるから。

解説：三角形の内角の和は180°です。各頂点の外角は内角の補角なので、外角の和は(180−A)+(180−B)+(180−C)=540−180=360°です。

問題：半径r cm、中心角135°のおうぎ形の面積が54πcm²である。rを求めなさい。

解答：12cm

解説：πr²×135/360=54π。135/360=3/8なので3r²/8=54。r²=144よりr=12です。

問題：円すいの母線が20cm、底面の半径が5cmである。側面のおうぎ形の中心角を求めなさい。

解答：90°

解説：側面の弧の長さは底面の円周10π。半径20cmの円周は40π。割合は10π/40π=1/4なので中心角は90°です。

問題：点A(−2,7)、B(4,−5)を通る直線と、直線 y=x+k が同じ点Bを通る。kを求め、その2直線は一致するか判断しなさい。

解答：k=−9、一致しない

解説：B(4,−5)をy=x+kに代入すると−5=4+kよりk=−9。ABの傾きは(−5−7)/(4−(−2))=−12/6=−2で、y=x−9の傾き1と違うため一致しません。