問題：3(2x-y)-2(x-4y) を簡単にしなさい。

解答：4x+5y

解説：かっこを外すと6x-3y-2x+8y。xの項、yの項をまとめて4x+5yです。

問題：(12a^2b-8ab^2)÷4ab を計算しなさい。

解答：3a-2b

解説：各項を4abで割ると、12a^2b÷4ab=3a、-8ab^2÷4ab=-2bです。

問題：x=−2、y=5 のとき、2x^2-3xy+y の値を求めなさい。

解答：43

解説：2×(-2)^2-3×(-2)×5+5=8+30+5=43です。

問題：連立方程式 2x+y=7、x-y=2 を解きなさい。

解答：x=3、y=1

解説：2式を加えると3x=9よりx=3。x-y=2に代入して3-y=2、y=1です。

問題：連立方程式 3x-2y=4、x+2y=8 を解きなさい。

解答：x=3、y=5/2

解説：2式を加えると4x=12よりx=3。x+2y=8に代入して3+2y=8、y=5/2です。

問題：1個120円のノートと1本80円のペンを合わせて18個買い、代金は1760円だった。ノートとペンの個数をそれぞれ求めなさい。

解答：ノート8個、ペン10本

解説：ノートをx個、ペンをy本とするとx+y=18、120x+80y=1760。4で割って3x+2y=44。2x+2y=36との差からx=8、y=10です。

問題：一次関数 y=−2x+5 で、xの値が−3から4まで増えるとき、yの増加量を求めなさい。

解答：−14

解説：xの増加量は7。変化の割合が-2なので、yの増加量は-2×7=-14です。

問題：一次関数 y=ax+3 が点(4,−5)を通る。aを求めなさい。

解答：a=−2

解説：x=4,y=-5を代入すると-5=4a+3。4a=-8よりa=-2です。

問題：2点(−1,7),(3,−1)を通る直線の式を求めなさい。

解答：y=−2x+5

解説：変化の割合は(-1-7)/(3-(-1))=-8/4=-2。y=-2x+bに(3,-1)を代入しb=5です。

問題：一次関数 y=3x−4 のグラフと y=−x+8 のグラフの交点の座標を求めなさい。

解答：(3,5)

解説：3x-4=-x+8より4x=12、x=3。y=3×3-4=5です。

問題：三角形ABCで、∠A=48°、∠B=67°である。∠Cを求めなさい。

解答：65°

解説：三角形の内角の和は180°なので、180-48-67=65°です。

問題：二等辺三角形ABCでAB=AC、∠A=40°である。∠Bを求めなさい。

解答：70°

解説：底角は等しいので、(180-40)÷2=70°です。

問題：正六角形の1つの内角を求めなさい。

解答：120°

解説：正六角形は外角が360°÷6=60°。内角は180°-60°=120°です。

問題：平行四辺形ABCDで∠A=62°である。∠Bと∠Cを求めなさい。

解答：∠B=118°、∠C=62°

解説：平行四辺形では隣り合う角の和が180°、向かい合う角が等しいです。

問題：長方形の対角線の交点をOとする。AO=7cmのとき、対角線ACの長さを求めなさい。

解答：14cm

解説：長方形の対角線は交点でそれぞれ半分に分けられるので、AC=2AO=14cmです。

問題：平行四辺形ABCDで、AB=8cm、BC=5cmである。周の長さを求めなさい。

解答：26cm

解説：向かい合う辺が等しいので、周は2(8+5)=26cmです。

問題：ひし形ABCDで、対角線AC=10cm、BD=24cmである。面積を求めなさい。

解答：120cm²

解説：ひし形の面積は対角線×対角線÷2。10×24÷2=120cm²です。

問題：台形ABCDでAB∥CD、AB=6cm、CD=14cm、高さが9cmである。面積を求めなさい。

解答：90cm²

解説：台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2。(6+14)×9÷2=90cm²です。

問題：三角形ABCと三角形DEFで、AB=DE、AC=DF、∠A=∠Dである。この2つの三角形が合同といえる理由を書きなさい。

解答：2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

解説：等しい角が、等しい2辺にはさまれているので、合同条件「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」に当てはまります。

問題：平行四辺形になる条件を1つ書きなさい。

解答：例：2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である。

解説：平行四辺形の定義です。他にも「2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい」なども条件になります。

問題：連立方程式 0.3x+0.2y=2.1、2x-y=3 を解きなさい。

解答：x=27/7、y=33/7

解説：1式を10倍して3x+2y=21。2式からy=2x-3。代入して3x+2(2x-3)=21、7x=27よりx=27/7。y=54/7-21/7=33/7です。

問題：連立方程式 2(x+y)=3x-1、3(x-y)=x+7 を解きなさい。

解答：x=11、y=5

解説：1式は2x+2y=3x-1よりx=2y+1。2式は3x-3y=x+7より2x-3y=7。代入して2(2y+1)-3y=7よりy=5、x=11です。

問題：A町からB町まで時速4kmで歩くと予定より18分遅れ、時速6kmで歩くと予定より12分早い。A町からB町までの距離を求めなさい。

解答：6km

解説：距離をx kmとする。時間の差は30分=1/2時間なので、x/4-x/6=1/2。x/12=1/2よりx=6です。

問題：ある店で大人2人と子ども3人の入場料は3100円、大人3人と子ども2人の入場料は3900円である。大人1人、子ども1人の入場料を求めなさい。

解答：大人900円、子ども700円

解説：大人をx円、子どもをy円とすると2x+3y=3100、3x+2y=3900。消去すると5x=4500よりx=900、y=700です。

問題：一次関数 y=ax+b で、xが2増えるとyが−6増え、点(−1,8)を通る。式を求めなさい。

解答：y=−3x+5

解説：変化の割合aは-6÷2=-3。y=-3x+bに(−1,8)を代入し8=3+b、b=5です。

問題：直線 y=2x−7 と平行で、点(−3,4)を通る直線の式を求めなさい。

解答：y=2x+10

解説：平行なので傾きは2。y=2x+bに(−3,4)を代入し4=-6+b、b=10です。

問題：直線 y=−1/2x+6 とx軸、y軸で囲まれる三角形の面積を求めなさい。

解答：36

解説：y軸との交点は(0,6)、x軸との交点はy=0よりx=12。面積は12×6÷2=36です。

問題：平行四辺形ABCDで、対角線の交点をOとする。AO=3x+2、OC=5x−6のとき、ACの長さを求めなさい。

解答：28

解説：対角線は互いに二等分するのでAO=OC。3x+2=5x-6よりx=4。AO=14、OC=14なのでAC=28です。

問題：二等辺三角形ABCでAB=AC。∠B=2x+10°、∠C=3x−15°のとき、∠Aを求めなさい。

解答：60°

解説：底角は等しいので2x+10=3x-15よりx=25。∠B=60°、∠C=60°なので∠A=180-120=60°です。

問題：四角形ABCDで、AB∥CD、AD∥BCであることを用いて、ABCDが平行四辺形であるといえる理由を書きなさい。

解答：2組の向かい合う辺がそれぞれ平行だから

解説：平行四辺形の定義にそのまま当てはまるため、ABCDは平行四辺形です。

問題：連立方程式 ax+y=7、2x-y=5 の解が x=3 である。aとyを求めなさい。

解答：a=2、y=1

解説：2x-y=5にx=3を代入すると6-y=5よりy=1。ax+y=7に代入して3a+1=7、a=2です。

問題：連立方程式 2x+3y=18、kx-y=4 の解でxとyが等しい。kを求めなさい。

解答：k=19/9

解説：x=yを2x+3y=18に代入して5x=18、x=y=18/5。kx-y=4より18k/5-18/5=4。18k-18=20より18k=38、k=19/9です。

問題：一次関数 y=ax+b は点(2,−1)を通り、x=−1のときの値が8である。この一次関数の式を求めなさい。

解答：y=−3x+5

解説：2点(2,-1),(-1,8)を通る。傾きは(8-(-1))/(-1-2)=9/(-3)=-3。y=-3x+bに(2,-1)を代入しb=5です。

問題：直線 y=mx+4 と y=−2x+n の交点が(3,1)である。mとnを求めなさい。

解答：m=−1、n=7

解説：(3,1)を代入する。1=3m+4よりm=-1。1=-6+nよりn=7です。

問題：兄と弟が同じ地点から同時に反対方向へ歩く。兄は毎分75m、弟は毎分55m。途中で兄が5分休んだところ、出発から20分後の2人の距離は何mか。

解答：2225m

解説：兄が歩いた時間は15分なので75×15=1125m。弟は20分歩き55×20=1100m。反対方向なので1125+1100=2225mです。

問題：ある三角形の3つの角が、x°、(2x−15)°、(3x+15)°である。この三角形が二等辺三角形になるとき、xの値をすべて求めなさい。

解答：存在しない

解説：内角の和よりx+2x-15+3x+15=180、6x=180、x=30。角は30°、45°、105°で、等しい角がないため二等辺三角形にはなりません。

問題：四角形ABCDで、AB∥CD、∠A=70°、∠B=110°である。この条件だけでAD∥BCといえるか。理由も書きなさい。

解答：いえる。錯角または同側内角の関係からAD∥BCと判断できる。

解説：ABを横切る2直線AD,BCについて、∠Aと∠Bの和が180°なので、同側内角の和が180°となりAD∥BCです。

問題：一次関数 y=2x+1 のグラフ上に点A(t,2t+1)、直線 y=−x+10 上に点B(t,−t+10)がある。ABの長さが12になるtを求めなさい。

解答：t=−1、7

解説：AとBはx座標が同じなのでABは縦の長さ。|(−t+10)-(2t+1)|=12より|9-3t|=12。9-3t=12ならt=-1、9-3t=-12ならt=7です。

問題：1辺がx cmの正方形の縦を3cm長くし、横を2cm短くした長方形の面積が、もとの正方形の面積より10cm²大きい。xを求めなさい。

解答：16cm

解説：長方形は(x+3)(x-2)。これがx²+10なのでx²+x-6=x²+10。x=16です。

問題：3つの連続する整数があり、最も小さい数の2倍と最も大きい数の和は、真ん中の数の3倍より4小さい。このような整数は存在するか。理由も書きなさい。

解答：存在しない

解説：連続する整数をn,n+1,n+2とする。2n+(n+2)=3(n+1)-4より3n+2=3n-1となり矛盾するため存在しません。