問題：(3x−2y)+(5x+7y) を計算しなさい。

解答：8x+5y

解説：同類項をまとめます。3x+5x=8x、-2y+7y=5yなので、8x+5yです。

問題：4(2a−3b)−3(a+2b) を計算しなさい。

解答：5a−18b

解説：分配法則で8a-12b-3a-6bとなります。同類項をまとめて5a-18bです。

問題：(12x²y−18xy²)÷6xy を計算しなさい。

解答：2x−3y

解説：各項を6xyで割ります。12x²y÷6xy=2x、-18xy²÷6xy=-3yです。

問題：x=−2、y=5 のとき、3x²−2xy+y の値を求めなさい。

解答：37

解説：3×(-2)²-2×(-2)×5+5=12+20+5=37です。

問題：縦がa cm、横が縦より4cm長い長方形の周の長さを、aを使った式で表しなさい。

解答：4a+8 cm

解説：横はa+4。周は2{a+(a+4)}=2(2a+4)=4a+8です。

問題：ある数nを7で割ると商がq、余りが5である。この関係を式で表しなさい。

解答：n=7q+5

解説：割られる数=割る数×商+余りなので、n=7q+5です。

問題：等式 3x+2y=12 を、yについて解きなさい。

解答：y=(12−3x)/2

解説：2y=12-3x。両辺を2で割ってy=(12-3x)/2です。

問題：等式 S=(a+b)h/2 を、hについて解きなさい。

解答：h=2S/(a+b)

解説：両辺を2倍して2S=(a+b)h。a+bで割ってh=2S/(a+b)です。

問題：連続する3つの整数のうち、最も小さい数をnとする。3つの整数の和をnを使って表しなさい。

解答：3n+3

解説：3つの整数はn,n+1,n+2。和は3n+3です。

問題：十の位がa、一の位がbである2けたの整数を、a,bを使って表しなさい。

解答：10a+b

解説：十の位は10a、一の位はbなので、整数は10a+bです。

問題：連立方程式 x+y=11、x−y=3 を解きなさい。

解答：x=7、y=4

解説：2式を加えると2x=14なのでx=7。x+y=11に代入してy=4です。

問題：連立方程式 2x+y=13、x+y=8 を解きなさい。

解答：x=5、y=3

解説：上の式から下の式を引くとx=5。x+y=8よりy=3です。

問題：連立方程式 3x−2y=4、x+y=6 を解きなさい。

解答：x=16/5、y=14/5

解説：x+y=6よりy=6-x。代入して3x-2(6-x)=4、5x=16、x=16/5。y=14/5です。

問題：1個120円のノートと1個80円のペンを合わせて15個買い、代金は1520円だった。ノートの個数を求めなさい。

解答：8個

解説：ノートをx個、ペンをy個とするとx+y=15、120x+80y=1520。下式を40で割って3x+2y=38。2x+2y=30との差よりx=8です。

問題：兄と弟の年齢の和は28歳、兄は弟より4歳年上である。兄の年齢を求めなさい。

解答：16歳

解説：兄をx、弟をyとするとx+y=28、x-y=4。加えて2x=32よりx=16です。

問題：点(2,5)を通り、傾きが3の直線の式を求めなさい。

解答：y=3x−1

解説：y=3x+bに(2,5)を代入すると5=6+b、b=-1です。

問題：一次関数 y=−2x+7 で、xが1から4まで増えるときのyの増加量を求めなさい。

解答：−6

解説：xの増加量は3。変化の割合が-2なので、yの増加量は-2×3=-6です。

問題：直線 y=1/2 x+3 について、x=8のときのyを求めなさい。

解答：7

解説：y=1/2×8+3=4+3=7です。

問題：2点(−1,4),(3,12)を通る直線の傾きを求めなさい。

解答：2

解説：傾きは(12-4)/(3-(-1))=8/4=2です。

問題：一次関数 y=ax+5 で、x=4のときy=−3である。aを求めなさい。

解答：−2

解説：-3=4a+5より4a=-8、a=-2です。

問題：(2x−3y)−{4x−(5y−x)} を簡単にしなさい。

解答：−3x+2y

解説：かっこの中は4x-5y+x=5x-5y。よって2x-3y-(5x-5y)=-3x+2yです。

問題：A=3x²−2x+5、B=−x²+4x−7 のとき、2A−3Bを計算しなさい。

解答：9x²−16x+31

解説：2A=6x²-4x+10、3B=-3x²+12x-21。2A-3B=6x²-4x+10-(-3x²+12x-21)=9x²-16x+31です。

問題：等式 2a−3b=5 を、bについて解きなさい。

解答：b=(2a−5)/3

解説：-3b=5-2a。両辺を-3で割るとb=(2a-5)/3です。

問題：連立方程式 0.3x+0.2y=3.9、x−y=3 を解きなさい。

解答：x=9、y=6

解説：1式を10倍して3x+2y=39。x-y=3よりy=x-3。代入して3x+2(x-3)=39、5x=45、x=9。y=6です。

問題：2けたの整数がある。十の位と一の位の和は9で、十の位と一の位を入れかえると、もとの数より27小さくなる。もとの整数を求めなさい。

解答：63

解説：十の位をa、一の位をbとするとa+b=9、10b+a=10a+b-27。整理してa-b=3。連立してa=6,b=3なので63です。

問題：ある道のりを時速4kmで歩くと予定より12分遅れ、時速5kmで歩くと予定より6分早い。この道のりを求めなさい。

解答：6km

解説：道のりをd kmとすると、d/4とd/5の差は18分=3/10時間。d/4-d/5=d/20=3/10よりd=6です。

問題：一次関数 y=ax+b で、x=−2のときy=9、x=4のときy=−3である。a,bを求めなさい。

解答：a=−2、b=5

解説：傾きa=(-3-9)/(4-(-2))=-12/6=-2。y=-2x+bにx=-2,y=9を代入し9=4+b、b=5です。

問題：直線 2x+y=8 の傾きと切片を求めなさい。

解答：傾き−2、切片8

解説：yについて解くとy=-2x+8。傾きは-2、切片は8です。

問題：2点A(1,−2),B(5,6)を通る直線の式を求めなさい。

解答：y=2x−4

解説：傾きは(6-(-2))/(5-1)=8/4=2。y=2x+bに(1,-2)を代入し-2=2+b、b=-4です。

問題：一次関数 y=3x−4 のグラフ上に点(k,11)がある。kを求めなさい。

解答：5

解説：11=3k-4より3k=15、k=5です。

問題：(x+y)²−(x−y)² を展開せずに工夫して簡単にしなさい。

解答：4xy

解説：A²-B²=(A-B)(A+B)を使います。A=x+y、B=x-yなので、{(x+y)-(x-y)}{(x+y)+(x-y)}=2y×2x=4xyです。

問題：x−2y=5、3x+ay=7 の解が x=3 である。aとyを求めなさい。

解答：y=−1、a=2

解説：x=3をx-2y=5に代入し3-2y=5、y=-1。3x+ay=7に代入し9-a=7、a=2です。

問題：連立方程式 2x+3y=7、4x+6y=k が解をもたないように、kの値を定めなさい。

解答：k≠14

解説：左辺は2倍の関係です。2x+3y=7を2倍すると4x+6y=14。k=14なら同じ直線で解は無数、k≠14なら平行で解なしです。

問題：1本120円の鉛筆と1本180円のペンを合わせて18本買う。代金を3000円以下にするには、ペンは最大何本まで買えるか。

解答：14本

解説：ペンをx本とすると180x+120(18-x)≦3000。60x+2160≦3000より60x≦840、x≦14です。

問題：一次関数 y=ax+b のグラフが点(−3,10)と点(5,−6)を通る。x切片を求めなさい。

解答：2

解説：傾きは(-6-10)/(5-(-3))=-16/8=-2。y=-2x+bに(5,-6)を代入してb=4。x切片はy=0より0=-2x+4、x=2です。

問題：直線 y=mx+2 と直線 y=−2x+8 の交点のx座標が3である。mを求めなさい。

解答：0

解説：交点のx座標が3なので、2本のyの値が等しい。3m+2=-2×3+8=2。3m=0よりm=0です。

問題：一次関数 y=−3x+12 で、0≦x≦5 のとき、yの最大値と最小値を求めなさい。

解答：最大値12、最小値−3

解説：傾きが負なのでxが増えるとyは減ります。x=0でy=12、x=5でy=-3です。

問題：2点(2,7),(a,−5)を通る直線の傾きが−3である。aを求めなさい。

解答：6

解説：傾きは(-5-7)/(a-2)=-12/(a-2)。これが-3なので-12=-3(a-2)、a-2=4、a=6です。

問題：連立方程式 x+y=12、xy=35 を満たす正の整数x,yをすべて求めなさい。

解答：(5,7),(7,5)

解説：積が35になる正の整数の組は(1,35),(5,7),(7,5),(35,1)。和が12になるのは(5,7),(7,5)です。

問題：一次関数 y=ax+b で、xが2から6まで増えるとyは12減り、グラフは点(−1,7)を通る。この直線の式を求めなさい。

解答：y=−3x+4

解説：xの増加量4に対しyの増加量は-12なのでa=-3。y=-3x+bに(-1,7)を代入し7=3+b、b=4です。