問題：(x＋8)(x−5) を展開しなさい。

解答：x²＋3x−40

解説：x²−5x＋8x−40＝x²＋3x−40 です。

問題：3x²−12x を因数分解しなさい。

解答：3x(x−4)

解説：共通因数3xでくくります。

問題：x²−81 を因数分解しなさい。

解答：(x＋9)(x−9)

解説：x²−9² の形なので、和と差の積にします。

問題：x²＋6x−27＝0 を解きなさい。

解答：x＝3，−9

解説：(x−3)(x＋9)=0 なので、x＝3，−9 です。

問題：2x²−32＝0 を解きなさい。

解答：x＝±4

解説：2x²＝32 より x²＝16。したがって x＝±4 です。

問題：x²−10x＋25＝0 を解きなさい。

解答：x＝5

解説：(x−5)²=0 なので、x＝5 です。

問題：√75−√27 を計算しなさい。

解答：2√3

解説：√75=5√3、√27=3√3。よって 5√3−3√3=2√3 です。

問題：(√5＋√2)(√5−√2) を計算しなさい。

解答：3

解説：和と差の積なので、5−2=3 です。

問題：3x²−13x＋4＝0 を解きなさい。

解答：x＝4，1/3

解説：3x²−13x＋4=(3x−1)(x−4)。よって x＝1/3，4 です。

問題：x²−8x−20＝0 を平方完成を用いて解きなさい。

解答：x＝10，−2

解説：x²−8x＝20。平方完成すると (x−4)²＝36。よって x＝10，−2 です。

問題：y＝−3x² のとき、x＝−4 のときの y を求めなさい。

解答：−48

解説：y＝−3×(−4)²＝−3×16＝−48 です。

問題：y＝ax² において、x＝3 のとき y＝54 である。a を求めなさい。

解答：a＝6

解説：54＝9a なので、a＝6 です。

問題：y＝2x² において、x が3倍になると y は何倍になるか答えなさい。

解答：9倍

解説：xが3倍になると、x²は9倍になります。

問題：相似比が 3：7 の2つの図形がある。面積比を求めなさい。

解答：9：49

解説：面積比は相似比の2乗です。

問題：相似比が 2：5 の2つの立体がある。体積比を求めなさい。

解答：8：125

解説：体積比は相似比の3乗です。

問題：△ABCで、DE∥BC、AD：DB＝2：3、BC＝20cm のとき、DEを求めなさい。

解答：8cm

解説：AD：AB＝2：5。DE：BC＝2：5なので、DE＝20×2/5＝8cmです。

問題：直角三角形で、直角をはさむ2辺が9cm，12cmである。斜辺を求めなさい。

解答：15cm

解説：9²＋12²＝225。斜辺は15cmです。

問題：1辺が10cmの正方形の対角線の長さを求めなさい。

解答：10√2cm

解説：正方形の対角線は1辺×√2です。

問題：座標平面上の2点 A(−1，3)，B(7，9) の距離を求めなさい。

解答：10

解説：xの差は8、yの差は6。距離は√(64＋36)=10です。

問題：半径8cm、弧の長さ6πcmのおうぎ形の面積を求めなさい。

解答：24πcm²

解説：おうぎ形の面積は、半径×弧の長さ÷2。8×6π÷2＝24πcm²です。

問題：2x²＋7x−15＝0 を解きなさい。

解答：x＝3/2，−5

解説：2x²＋7x−15=(2x−3)(x＋5)。よって x＝3/2，−5 です。

問題：x²−12x＋m＝0 が重解をもつとき、m の値と重解を求めなさい。

解答：m＝36、重解 x＝6

解説：(x−6)²=x²−12x＋36 なので、m＝36、重解は6です。

問題：x²−6x−16＝0 の2つの解を α，β とするとき、α²＋β² を求めなさい。

解答：68

解説：解は8と−2。よって 8²＋(−2)²＝64＋4＝68です。

問題：y＝ax² が点（−2，−28）を通る。この関数で x＝5 のときの y を求めなさい。

解答：−175

解説：−28＝4aよりa＝−7。x＝5のとき y＝−7×25＝−175です。

問題：y＝4x² において、x が −3 から 2 まで増加したときの変化の割合を求めなさい。

解答：−4

解説：x＝−3でy＝36、x＝2でy＝16。変化の割合は(16−36)÷5＝−4です。

問題：相似比が 4：9 の2つの図形がある。小さい図形の面積が48cm²のとき、大きい図形の面積を求めなさい。

解答：243cm²

解説：面積比は16：81。48×81/16＝243cm²です。

問題：△ABCで、DE∥BC、AD：DB＝3：4、DE＝18cm のとき、BCを求めなさい。

解答：42cm

解説：AD：AB＝3：7。DE：BC＝3：7なので、BC＝18×7/3＝42cmです。

問題：直角三角形で、斜辺が25cm、一方の辺が7cmである。もう一方の辺を求めなさい。

解答：24cm

解説：x²＝25²−7²＝625−49＝576。x＝24cmです。

問題：半径17cmの円で、中心から弦までの距離が8cmである。この弦の長さを求めなさい。

解答：30cm

解説：弦の半分をxとすると、x²＋8²＝17²。x²＝225、x＝15。弦は30cmです。

問題：ある学校の生徒1500人のうち、無作為に75人を調べたところ、18人が徒歩通学だった。全校の徒歩通学者数を推定しなさい。

解答：360人

解説：18/75=0.24。1500×0.24＝360人です。

問題：3x²＋px−14＝0 の1つの解が2である。p ともう1つの解を求めなさい。

解答：p＝1、もう1つの解は−7/3

解説：x＝2を代入すると12＋2p−14＝0。2p−2＝0よりp＝1。式は3x²＋x−14＝0=(3x＋7)(x−2)。もう1つの解は−7/3です。

問題：x²−10x＋2＝0 の2つの解を α，β とするとき、1/α＋1/β を求めなさい。

解答：5

解説：α＋β＝10、αβ＝2。1/α＋1/β=(α＋β)/αβ=10/2=5です。

問題：y＝ax² で、x が−5から−1まで増加したときの変化の割合が−18である。a を求めなさい。

解答：a＝3

解説：x＝−5でy＝25a、x＝−1でy＝a。変化の割合は(a−25a)/4=−6a。−6a＝−18よりa＝3です。

問題：連続する2つの正の偶数の積が224である。この2つの偶数を求めなさい。

解答：14，16

解説：小さい方をxとすると、x(x＋2)=224。x²＋2x−224=0。(x−14)(x＋16)=0。よって14，16です。

問題：△ABCで、DE∥BC、AD：DB＝5：4、△ADEの面積が75cm²である。△ABCの面積を求めなさい。

解答：243cm²

解説：AD：AB＝5：9。面積比は25：81。△ABCの面積は75×81/25＝243cm²です。

問題：表面積の比が 25：64 である相似な2つの立体がある。小さい立体の体積が250cm³のとき、大きい立体の体積を求めなさい。

解答：1024cm³

解説：表面積比25：64より相似比は5：8。体積比は125：512。250×512/125＝1024cm³です。

問題：直角三角形の3辺が x cm，x＋1 cm，x＋7 cmである。xを求めなさい。ただし、最も長い辺を斜辺とする。

解答：x＝8

解説：x²+(x＋1)²=(x＋7)²。展開して2x²＋2x＋1=x²＋14x＋49。整理するとx²−12x−48=0ではなく、x²−12x−48=0となり整数解になりません。この問題は不適切です。

問題：x²−y²＝96 を満たす正の整数 x，y の組をすべて求めなさい。

解答：(x，y)=(25，23)，(14，10)，(10，2)

解説：(x＋y)(x−y)=96。同じ偶奇の因数の組は48と2、24と4、12と8。よって (25，23)，(14，10)，(10，2) です。

問題：直角三角形で、斜辺の長さが29cm、面積が210cm²である。直角をはさむ2辺の長さを求めなさい。

解答：20cm，21cm

解説：2辺をa，bとするとab/2=210よりab=420。またa²＋b²=29²=841。(a＋b)²=841＋840=1681なのでa＋b=41。和41、積420の2数は20と21です。

問題：標本160個を調べたところ、ある特徴をもつものが24個あった。母集団全体でその特徴をもつものが750個あると推定される。母集団の個数を推定しなさい。

解答：5000個

解説：特徴をもつ割合は24/160=3/20。母集団をNとすると、N×3/20=750。N=5000です。