問題：(x＋11)(x−4) を展開しなさい。

解答：x²＋7x−44

解説：x²−4x＋11x−44＝x²＋7x−44です。

問題：5x²−20x を因数分解しなさい。

解答：5x(x−4)

解説：共通因数5xでくくります。

問題：4x²−49 を因数分解しなさい。

解答：(2x＋7)(2x−7)

解説：(2x)²−7²の形なので、和と差の積にします。

問題：√128−√72 を簡単にしなさい。

解答：2√2

解説：√128=8√2、√72=6√2。よって8√2−6√2=2√2です。

問題：(√13＋√5)(√13−√5) を計算しなさい。

解答：8

解説：和と差の積なので、13−5=8です。

問題：x²−15x＋54＝0 を解きなさい。

解答：x＝6，9

解説：(x−6)(x−9)=0なので、x＝6，9です。

問題：2x²−98＝0 を解きなさい。

解答：x＝±7

解説：2x²＝98よりx²＝49。したがってx＝±7です。

問題：x²＋4x−96＝0 を解きなさい。

解答：x＝8，−12

解説：(x−8)(x＋12)=0なので、x＝8，−12です。

問題：3x²−14x−5＝0 を解きなさい。

解答：x＝5，−1/3

解説：3x²−14x−5=(3x＋1)(x−5)。よってx＝−1/3，5です。

問題：x²−10x−24＝0 を平方完成を用いて解きなさい。

解答：x＝12，−2

解説：x²−10x＝24。平方完成すると(x−5)²＝49。よってx＝12，−2です。

問題：y＝−4x² のとき、x＝−5 のときの y を求めなさい。

解答：−100

解説：y＝−4×(−5)²＝−4×25＝−100です。

問題：y＝ax² において、x＝−3 のとき y＝72 である。a を求めなさい。

解答：a＝8

解説：72＝a×9よりa＝8です。

問題：y＝3x² において、x の値が6倍になると y は何倍になるか答えなさい。

解答：36倍

解説：xが6倍になるとx²は36倍になります。

問題：相似比が 4：9 の2つの図形がある。面積比を求めなさい。

解答：16：81

解説：面積比は相似比の2乗なので、4²：9²＝16：81です。

問題：相似な2つの立体の相似比が 5：7 のとき、体積比を求めなさい。

解答：125：343

解説：体積比は相似比の3乗なので、5³：7³＝125：343です。

問題：△ABCで、DE∥BC、AD：DB＝5：3、BC＝40cm のとき、DEを求めなさい。

解答：25cm

解説：AD：AB＝5：8。DE：BC＝5：8なので、DE＝40×5/8＝25cmです。

問題：直角三角形で、直角をはさむ2辺が20cm，21cmである。斜辺を求めなさい。

解答：29cm

解説：斜辺をcとすると、c²＝20²＋21²＝841。c＝29cmです。

問題：半径10cmの円で、中心から弦までの距離が6cmである。この弦の長さを求めなさい。

解答：16cm

解説：弦の半分をxとすると、x²＋6²＝10²。x²＝64なのでx＝8。弦は16cmです。

問題：座標平面上の2点 A(−5，2)，B(7，7) の距離を求めなさい。

解答：13

解説：xの差は12、yの差は5。距離は√(12²＋5²)=13です。

問題：半径12cm、弧の長さ11πcmのおうぎ形の面積を求めなさい。

解答：66πcm²

解説：おうぎ形の面積は半径×弧の長さ÷2。12×11π÷2＝66πcm²です。

問題：5x²−17x＋6＝0 を解きなさい。

解答：x＝3，2/5

解説：5x²−17x＋6=(5x−2)(x−3)。よってx＝2/5，3です。

問題：x²＋px＋84 が整数係数で因数分解でき、p が正の整数であるとき、p の値をすべて求めなさい。

解答：19，20，25，31，44，85

解説：84の因数の組は1と84、2と42、3と28、4と21、6と14、7と12。和は85，44，31，25，20，19です。

問題：x²−8x−33＝0 の2つの解を α，β とするとき、α²＋β² を求めなさい。

解答：130

解説：(x−11)(x＋3)=0なので解は11と−3。α²＋β²＝121＋9＝130です。

問題：y＝ax² が点（−6，−252）を通る。この関数で x＝4 のときの y を求めなさい。

解答：−112

解説：−252＝36aよりa＝−7。x＝4のときy＝−7×16＝−112です。

問題：y＝5x² において、x が −4 から 3 まで増加したときの変化の割合を求めなさい。

解答：−5

解説：x＝−4でy＝80、x＝3でy＝45。変化の割合は(45−80)÷7＝−5です。

問題：相似比が 6：11 の2つの図形がある。小さい図形の面積が72cm²のとき、大きい図形の面積を求めなさい。

解答：242cm²

解説：面積比は36：121。大きい面積は72×121/36＝2×121＝242cm²です。

問題：△ABCで、DE∥BC、AD：DB＝7：5、DE＝35cm のとき、BCを求めなさい。

解答：60cm

解説：AD：AB＝7：12。DE：BC＝7：12なので、BC＝35×12/7＝60cmです。

問題：直角三角形で、斜辺が50cm、一方の辺が14cmである。もう一方の辺を求めなさい。

解答：48cm

解説：x²＝50²−14²＝2500−196＝2304。x＝48cmです。

問題：ある池の魚を120匹捕まえて印をつけて戻した。後日150匹捕まえると、印のついた魚が18匹いた。池全体の魚の数を推定しなさい。

解答：1000匹

解説：印の割合は18/150=3/25。120匹が全体の3/25なので、全体は120÷(3/25)=1000匹です。

問題：資料 6，10，15，x，24 の平均が17である。xを求めなさい。

解答：30

解説：5個の合計は17×5＝85。6＋10＋15＋24＝55なので、x＝30です。

問題：6x²＋px−20＝0 の1つの解が2である。p ともう1つの解を求めなさい。

解答：p＝−2、もう1つの解は−5/3

解説：x＝2を代入すると24＋2p−20＝0。2p＋4＝0よりp＝−2。式は6x²−2x−20＝0、3x²−x−10＝0=(3x＋5)(x−2)。もう1つの解は−5/3です。

問題：x²−16x＋m＝0 が重解をもつとき、m の値と重解を求めなさい。

解答：m＝64、重解 x＝8

解説：(x−8)²=x²−16x＋64なので、m＝64、重解はx＝8です。

問題：x²−14x＋6＝0 の2つの解を α，β とするとき、1/α＋1/β を求めなさい。

解答：7/3

解説：解と係数の関係より、α＋β＝14、αβ＝6。1/α＋1/β=(α＋β)/αβ=14/6=7/3です。

問題：y＝ax² で、x が−8から−3まで増加したときの変化の割合が−55である。a を求めなさい。

解答：a＝5

解説：x＝−8でy＝64a、x＝−3でy＝9a。変化の割合は(9a−64a)÷5=−11a。−11a＝−55よりa＝5です。

問題：連続する2つの正の奇数の積が255である。この2つの奇数を求めなさい。

解答：15，17

解説：小さい方をxとすると、x(x＋2)=255。x²＋2x−255=0。(x−15)(x＋17)=0。よって15，17です。

問題：△ABCで、DE∥BC、AD：DB＝4：7、△ADEの面積が64cm²である。△ABCの面積を求めなさい。

解答：484cm²

解説：AD：AB＝4：11。面積比は16：121。△ABCの面積は64×121/16＝484cm²です。

問題：表面積の比が 36：121 である相似な2つの立体がある。小さい立体の体積が432cm³のとき、大きい立体の体積を求めなさい。

解答：2662cm³

解説：表面積比36：121より相似比は6：11。体積比は216：1331。432×1331/216＝2×1331＝2662cm³です。

問題：x²−y²＝132 を満たす正の整数 x，y の組をすべて求めなさい。

解答：(x，y)=(34，32)，(14，8)

解説：(x＋y)(x−y)=132。x＋yとx−yは同じ偶奇なので、使える因数の組は66と2、22と6です。よって(x,y)=(34,32),(14,8)です。

問題：直角三角形で、斜辺の長さが29cm、面積が210cm²である。直角をはさむ2辺の長さを求めなさい。

解答：20cm，21cm

解説：2辺をa，bとするとab/2=210よりab=420。またa²＋b²=29²=841。(a＋b)²=841＋840=1681なのでa＋b=41。和41、積420の2数は20と21です。

問題：標本180個を調べたところ、ある特徴をもつものが27個あった。母集団全体でその特徴をもつものが1350個あると推定される。母集団の個数を推定しなさい。

解答：9000個

解説：特徴をもつ割合は27/180=3/20。母集団をNとするとN×3/20=1350。N=9000です。