問題：(x＋7)(x＋4) を展開しなさい。

解答：x²＋11x＋28

解説：x²＋4x＋7x＋28 となり、同類項をまとめると x²＋11x＋28 です。

問題：(a−6)(a＋2) を展開しなさい。

解答：a²−4a−12

解説：a²＋2a−6a−12 となり、2a−6a＝−4a です。

問題：(y−8)(y−3) を展開しなさい。

解答：y²−11y＋24

解説：y²−3y−8y＋24 となります。

問題：(2x＋5)(x−3) を展開しなさい。

解答：2x²−x−15

解説：2x²−6x＋5x−15＝2x²−x−15 です。

問題：(3a−4)(2a＋1) を展開しなさい。

解答：6a²−5a−4

解説：6a²＋3a−8a−4＝6a²−5a−4 です。

問題：(x＋11)² を展開しなさい。

解答：x²＋22x＋121

解説：(x＋11)²＝x²＋2×11x＋121 です。

問題：(m−9)² を展開しなさい。

解答：m²−18m＋81

解説：(m−9)²＝m²−18m＋81 です。

問題：(2x＋7)² を展開しなさい。

解答：4x²＋28x＋49

解説：(2x)²＋2×2x×7＋7² です。

問題：(5a−2b)(5a＋2b) を展開しなさい。

解答：25a²−4b²

解説：和と差の積なので、(5a)²−(2b)² です。

問題：(3x−4)(3x＋4) を展開しなさい。

解答：9x²−16

解説：(3x)²−4²＝9x²−16 です。

問題：x²＋13x＋40 を因数分解しなさい。

解答：(x＋5)(x＋8)

解説：積が40、和が13になる2数は5と8です。

問題：a²−7a−18 を因数分解しなさい。

解答：(a−9)(a＋2)

解説：積が−18、和が−7になる2数は−9と2です。

問題：y²−16y＋63 を因数分解しなさい。

解答：(y−7)(y−9)

解説：積が63、和が−16になる2数は−7と−9です。

問題：x²−121 を因数分解しなさい。

解答：(x＋11)(x−11)

解説：x²−11² の形です。

問題：p²＋18p＋81 を因数分解しなさい。

解答：(p＋9)²

解説：81＝9²、18p＝2×p×9 です。

問題：q²−22q＋121 を因数分解しなさい。

解答：(q−11)²

解説：121＝11²、−22q＝−2×q×11 です。

問題：6x²＋18x を因数分解しなさい。

解答：6x(x＋3)

解説：共通因数6xでくくります。

問題：7a²−112 を因数分解しなさい。

解答：7(a＋4)(a−4)

解説：7(a²−16)=7(a＋4)(a−4) です。

問題：3x²＋15x＋18 を因数分解しなさい。

解答：3(x＋2)(x＋3)

解説：3でくくると、3(x²＋5x＋6) です。

問題：9a²−16b² を因数分解しなさい。

解答：(3a＋4b)(3a−4b)

解説：(3a)²−(4b)² の形です。

問題：√108−√75＋√12 を計算しなさい。

解答：3√3

解説：√108＝6√3、√75＝5√3、√12＝2√3。よって 6√3−5√3＋2√3＝3√3 です。

問題：2√45＋√80−3√20 を計算しなさい。

解答：4√5

解説：2√45＝6√5、√80＝4√5、3√20＝6√5。よって 4√5 です。

問題：(√7＋√3)(√7−√3) を計算しなさい。

解答：4

解説：7−3＝4 です。

問題：(2√3−√5)² を展開しなさい。

解答：17−4√15

解説：12−4√15＋5＝17−4√15 です。

問題：7，√53，2√13 を小さい順に並べなさい。

解答：7＜2√13＜√53

解説：7＝√49、2√13＝√52。よって √49＜√52＜√53 です。

問題：x²−6x−16 を因数分解しなさい。

解答：(x−8)(x＋2)

解説：積が−16、和が−6になる2数は−8と2です。

問題：2x²−5x−3 を因数分解しなさい。

解答：(2x＋1)(x−3)

解説：展開すると 2x²−6x＋x−3＝2x²−5x−3 です。

問題：3x²＋10x＋8 を因数分解しなさい。

解答：(3x＋4)(x＋2)

解説：展開すると 3x²＋6x＋4x＋8＝3x²＋10x＋8 です。

問題：x²＋ax＋36 が整数係数で因数分解でき、a が正の整数である。a の値をすべて求めなさい。

解答：12，13，15，20，37

解説：36の因数の組は 1と36、2と18、3と12、4と9、6と6。和は37，20，15，13，12 です。

問題：√n が 5 より大きく 8 より小さい整数でない数となる自然数 n のうち、最小のものを求めなさい。

解答：26

解説：25＜n＜64 で、最小の自然数は26です。√26は整数ではありません。

問題：連続する3つの整数を n−1，n，n＋1 とする。この3つの整数の積に n を加えた式を因数分解しなさい。

解答：n³

解説：(n−1)n(n＋1)+n=n(n²−1)+n=n³−n+n=n³ です。

問題：連続する2つの偶数を 2n，2n＋2 とする。この2数の積に1を加えると平方数になることを説明しなさい。

解答例：2n(2n＋2)+1=4n²＋4n＋1=(2n＋1)² となるので平方数である。

解説：最後に平方の形に変形できれば証明になります。

問題：縦が x＋4、横が x＋9 の長方形から、一辺が x＋2 の正方形を取り除いた残りの面積を、展開して簡単にしなさい。

解答：9x＋32

解説：(x＋4)(x＋9)−(x＋2)²=x²＋13x＋36−(x²＋4x＋4)=9x＋32 です。

問題：x²＋px＋48 が整数係数で因数分解でき、p が正の整数であるとき、p の値をすべて求めなさい。

解答：14，16，19，26，49

解説：48の因数の組は 1と48、2と24、3と16、4と12、6と8。和は49，26，19，16，14 です。

問題：2x²＋7x＋3 を因数分解しなさい。

解答：(2x＋1)(x＋3)

解説：(2x＋1)(x＋3)=2x²＋6x＋x＋3=2x²＋7x＋3 です。

問題：2x²＋kx＋12 が整数係数で因数分解できるような正の整数 k をすべて求めなさい。

解答：11，14，16

解説：(2x＋a)(x＋b)=2x²+(2b+a)x+ab とします。ab=12。組を調べると k=2b+a は 11，14，16 になります。

問題：4x²−12xy＋9y² を因数分解しなさい。

解答：(2x−3y)²

解説：4x²=(2x)²、9y²=(3y)²、中央の項は −2×2x×3y です。

問題：9x²−30x＋25−4y² を因数分解しなさい。

解答：(3x−5＋2y)(3x−5−2y)

解説：9x²−30x＋25=(3x−5)²。よって (3x−5)²−(2y)² です。

問題：√a＋√b＝√50 となる自然数 a，b の組を一つ答えなさい。ただし、a，b は平方数でないものとする。

解答例：a=2，b=32

解説：√50=5√2、√2＋√32=√2＋4√2=5√2 です。

問題：x²−y²＝96 を満たす正の整数 x，y の組をすべて求めなさい。

解答：(x，y)=(25，23)，(14，10)，(10，2)

解説：x²−y²=(x＋y)(x−y)=96。x＋y と x−y は同じ偶奇になります。使える組は 48と2、24と4、12と8。よって (x，y)=(25，23)，(14，10)，(10，2) です。