問題：(x＋9)(x＋3) を展開しなさい。

解答：x²＋12x＋27

解説：x²＋3x＋9x＋27＝x²＋12x＋27です。

問題：(a−7)(a＋5) を展開しなさい。

解答：a²−2a−35

解説：a²＋5a−7a−35＝a²−2a−35です。

問題：(2x−1)(x＋8) を展開しなさい。

解答：2x²＋15x−8

解説：2x²＋16x−x−8＝2x²＋15x−8です。

問題：(3a＋2)(2a−5) を展開しなさい。

解答：6a²−11a−10

解説：6a²−15a＋4a−10＝6a²−11a−10です。

問題：(x−12)² を展開しなさい。

解答：x²−24x＋144

解説：(x−12)²=x²−2×12x＋12²=x²−24x＋144です。

問題：(2x＋9)² を展開しなさい。

解答：4x²＋36x＋81

解説：(2x)²＋2×2x×9＋9²＝4x²＋36x＋81です。

問題：(4a−3b)(4a＋3b) を展開しなさい。

解答：16a²−9b²

解説：和と差の積なので、(4a)²−(3b)²＝16a²−9b²です。

問題：(5x−2)² を展開しなさい。

解答：25x²−20x＋4

解説：(5x)²−2×5x×2＋2²＝25x²−20x＋4です。

問題：(x＋4)(x−6)−(x−2)² を簡単にしなさい。

解答：−6x−28

解説：(x＋4)(x−6)=x²−2x−24、(x−2)²=x²−4x＋4。差はx²−2x−24−x²＋4x−4＝2x−28です。よって正しくは2x−28です。

問題：(3x＋1)(x−7)＋2x(x＋5) を簡単にしなさい。

解答：5x²−10x−7

解説：(3x＋1)(x−7)=3x²−20x−7、2x(x＋5)=2x²＋10x。合計して5x²−10x−7です。

問題：x²＋15x＋56 を因数分解しなさい。

解答：(x＋7)(x＋8)

解説：積が56、和が15になる2数は7と8です。

問題：a²−4a−45 を因数分解しなさい。

解答：(a−9)(a＋5)

解説：積が−45、和が−4になる2数は−9と5です。

問題：y²−18y＋80 を因数分解しなさい。

解答：(y−10)(y−8)

解説：積が80、和が−18になる2数は−10と−8です。

問題：m²＋20m＋100 を因数分解しなさい。

解答：(m＋10)²

解説：100=10²、20m=2×m×10なので平方の形です。

問題：n²−24n＋144 を因数分解しなさい。

解答：(n−12)²

解説：144=12²、−24n=−2×n×12なので平方の形です。

問題：25x²−36 を因数分解しなさい。

解答：(5x＋6)(5x−6)

解説：(5x)²−6²の形です。

問題：4a²−20a を因数分解しなさい。

解答：4a(a−5)

解説：共通因数4aでくくります。

問題：6x²＋30x＋36 を因数分解しなさい。

解答：6(x＋2)(x＋3)

解説：まず6でくくると6(x²＋5x＋6)。さらに(x＋2)(x＋3)に分解できます。

問題：2x²＋13x＋15 を因数分解しなさい。

解答：(2x＋3)(x＋5)

解説：展開すると2x²＋10x＋3x＋15＝2x²＋13x＋15です。

問題：3x²−11x−4 を因数分解しなさい。

解答：(3x＋1)(x−4)

解説：展開すると3x²−12x＋x−4＝3x²−11x−4です。

問題：(2x−3)²−(x＋5)(x−5) を簡単にしなさい。

解答：3x²−12x＋34

解説：(2x−3)²=4x²−12x＋9、(x＋5)(x−5)=x²−25。差は4x²−12x＋9−x²＋25＝3x²−12x＋34です。

問題：(3a−2b)²−(a＋4b)(a−4b) を簡単にしなさい。

解答：8a²−12ab＋20b²

解説：(3a−2b)²=9a²−12ab＋4b²、(a＋4b)(a−4b)=a²−16b²。差は8a²−12ab＋20b²です。

問題：2x²−7x−15 を因数分解しなさい。

解答：(2x＋3)(x−5)

解説：展開すると2x²−10x＋3x−15＝2x²−7x−15です。

問題：6x²−x−12 を因数分解しなさい。

解答：(3x＋4)(2x−3)

解説：展開すると6x²−9x＋8x−12＝6x²−x−12です。

問題：9x²−24xy＋16y² を因数分解しなさい。

解答：(3x−4y)²

解説：9x²=(3x)²、16y²=(4y)²、中央は−2×3x×4yなので平方の形です。

問題：16a²−40ab＋25b² を因数分解しなさい。

解答：(4a−5b)²

解説：16a²=(4a)²、25b²=(5b)²、中央は−2×4a×5bです。

問題：√108＋√75−√12 を簡単にしなさい。

解答：9√3

解説：√108=6√3、√75=5√3、√12=2√3。よって6√3＋5√3−2√3=9√3です。

問題：(√7＋√2)²−(√7−√2)² を計算しなさい。

解答：4√14

解説：(a＋b)²−(a−b)²=4ab。a=√7、b=√2なので4√14です。

問題：x²＋px＋60 が整数係数で因数分解でき、p が正の整数であるとき、p の値をすべて求めなさい。

解答：16，17，19，23，32，61

解説：60の因数の組は1と60、2と30、3と20、4と15、5と12、6と10。和は61，32，23，19，17，16です。

問題：2x²＋kx＋18 が整数係数で因数分解できるような正の整数 k をすべて求めなさい。

解答：13，15，20，37

解説：(2x＋a)(x＋b)とおくとab=18、k=2b＋a。正の因数の組を調べるとkは37，20，15，13になります。

問題：連続する3つの整数を n，n＋1，n＋2 とする。両端の数の積に1を加えると中央の数の平方になることを説明しなさい。

解答例：n(n＋2)+1=n²＋2n＋1=(n＋1)² となるので、中央の数 n＋1 の平方になる。

解説：両端の数の積を展開し、1を加えると平方の形になります。

問題：連続する2つの奇数を 2n＋1，2n＋3 とする。この2数の積に1を加えた数を因数分解し、平方数になることを説明しなさい。

解答例：(2n＋1)(2n＋3)+1=4n²＋8n＋4=4(n＋1)²=(2n＋2)²。よって平方数である。

解説：展開後に平方の形へ変形できることを示せば証明になります。

問題：x²＋px＋36 が平方の形に因数分解できるような正の整数 p を求めなさい。

解答：12

解説：平方の形は(x＋6)²=x²＋12x＋36。したがってp=12です。

問題：3x²＋kx−10 が整数係数で因数分解できるような整数 k を5つ求めなさい。

解答例：−29，−13，−7，1，13

解説：(3x＋a)(x＋b)とおくとab=−10、k=3b＋a。因数の組を使うと複数求められます。例として、a=1,b=−10でk=−29、a=−1,b=10でk=29、a=2,b=−5でk=−13、a=−2,b=5でk=13、a=5,b=−2でk=−1などがあります。解答例以外にも条件を満たす値があります。

問題：縦が x＋6 cm、横が x＋11 cm の長方形から、一辺が x＋3 cm の正方形を取り除いた残りの面積を、展開して簡単にしなさい。

解答：11x＋57cm²

解説：(x＋6)(x＋11)−(x＋3)²=x²＋17x＋66−(x²＋6x＋9)=11x＋57です。

問題：一辺が x＋4 cm の正方形の面積と、一辺が x−2 cm の正方形の面積の差を因数分解を用いて求めなさい。

解答：12x＋12cm²

解説：(x＋4)²−(x−2)²={(x＋4)+(x−2)}{(x＋4)−(x−2)}=(2x＋2)×6=12x＋12です。

問題：√a＋√b＝√72 となる自然数 a，b の組を一つ答えなさい。ただし、a，b は平方数でないものとする。

解答例：a=8，b=32

解説：√72=6√2、√8=2√2、√32=4√2。よって√8＋√32=6√2=√72です。

問題：x²−y²＝105 を満たす正の整数 x，y の組をすべて求めなさい。

解答：(x，y)=(53，52)，(19，16)，(13，8)，(11，4)

解説：(x＋y)(x−y)=105。因数の組は105と1、35と3、21と5、15と7。これより(x,y)=(53,52),(19,16),(13,8),(11,4)です。

問題：4x²−(y−3x)² を因数分解しなさい。

解答：(5x−y)(y−x)

解説：4x²−(y−3x)²=(2x+y−3x)(2x−y+3x)=(y−x)(5x−y)です。

問題：整数 n について、(n＋5)²−(n−3)² が常に8の倍数になることを説明しなさい。

解答例：(n＋5)²−(n−3)²={(n＋5)+(n−3)}{(n＋5)−(n−3)}=(2n＋2)×8=16n＋16=8(2n＋2)。よって8の倍数である。

解説：平方の差を因数分解すると、8を因数にもつ形になります。