問題：x²−36＝0 を解きなさい。

解答：x＝±6

解説：x²−36＝0 より x²＝36。したがって x＝±6 です。

問題：x²＋11x＋30＝0 を解きなさい。

解答：x＝−5，−6

解説：x²＋11x＋30=(x＋5)(x＋6)。よって x＋5＝0 または x＋6＝0 です。

問題：x²−13x＋40＝0 を解きなさい。

解答：x＝5，8

解説：x²−13x＋40=(x−5)(x−8)。よって x＝5，8 です。

問題：2x²−50＝0 を解きなさい。

解答：x＝±5

解説：2x²＝50 より x²＝25。したがって x＝±5 です。

問題：x²−14x＋49＝0 を解きなさい。

解答：x＝7

解説：x²−14x＋49=(x−7)²。よって x＝7 です。

問題：x²＋2x−48＝0 を解きなさい。

解答：x＝6，−8

解説：x²＋2x−48=(x−6)(x＋8)。よって x＝6，−8 です。

問題：x²−6x＝0 を解きなさい。

解答：x＝0，6

解説：x²−6x=x(x−6)。よって x＝0，6 です。

問題：3x²＋12x＝0 を解きなさい。

解答：x＝0，−4

解説：3x²＋12x=3x(x＋4)。よって x＝0，−4 です。

問題：x²−18x＋80＝0 を解きなさい。

解答：x＝8，10

解説：x²−18x＋80=(x−8)(x−10)。よって x＝8，10 です。

問題：x²＋5x−84＝0 を解きなさい。

解答：x＝7，−12

解説：x²＋5x−84=(x−7)(x＋12)。よって x＝7，−12 です。

問題：y＝3x² のとき、x＝−4 のときの y を求めなさい。

解答：48

解説：y＝3×(−4)²＝3×16＝48 です。

問題：y＝−2x² のとき、x＝5 のときの y を求めなさい。

解答：−50

解説：y＝−2×5²＝−2×25＝−50 です。

問題：y＝ax² において、x＝3 のとき y＝45 である。a を求めなさい。

解答：a＝5

解説：45＝a×3² より、45＝9a。したがって a＝5 です。

問題：y＝ax² において、x＝−2 のとき y＝−28 である。a を求めなさい。

解答：a＝−7

解説：−28＝a×(−2)² より、−28＝4a。したがって a＝−7 です。

問題：y＝−3x² において、y＝−75 のとき x を求めなさい。

解答：x＝±5

解説：−75＝−3x² より x²＝25。したがって x＝±5 です。

問題：y＝2x² において、x の値が3倍になると y は何倍になるか答えなさい。

解答：9倍

解説：x が3倍になると x² は9倍になります。係数2は変わらないので、y は9倍です。

問題：y＝ax² のグラフが点（4，−32）を通るとき、a を求めなさい。

解答：a＝−2

解説：−32＝a×4² より、−32＝16a。したがって a＝−2 です。

問題：y＝5x² のグラフ上で、y＝80 となる x の値を求めなさい。

解答：x＝±4

解説：80＝5x² より x²＝16。したがって x＝±4 です。

問題：y＝−x² のグラフについて、x＝−6 から x＝2 まで変化するときの y の変化量を求めなさい。

解答：32

解説：x＝−6 のとき y＝−36、x＝2 のとき y＝−4。変化量は −4−(−36)=32 です。

問題：y＝ax² で a＜0 のとき、グラフの開き方を説明しなさい。

解答例：下に開く放物線になる。

解説：a が負のとき、y＝ax² のグラフは原点を通り、下向きに開く放物線になります。

問題：2x²−11x＋5＝0 を解きなさい。

解答：x＝5，1/2

解説：2x²−11x＋5=(2x−1)(x−5)。よって x＝1/2，5 です。

問題：3x²−10x−8＝0 を解きなさい。

解答：x＝4，−2/3

解説：3x²−10x−8=(3x＋2)(x−4)。よって x＝−2/3，4 です。

問題：x²−8x−20＝0 を平方完成を用いて解きなさい。

解答：x＝10，−2

解説：x²−8x−20＝0 より x²−8x＝20。平方完成すると (x−4)²＝36。したがって x−4＝±6、x＝10，−2 です。

問題：x²＋6x−7＝0 を平方完成を用いて解きなさい。

解答：x＝1，−7

解説：x²＋6x−7＝0 より x²＋6x＝7。平方完成すると (x＋3)²＝16。したがって x＋3＝±4、x＝1，−7 です。

問題：x²−5x−14＝0 の2つの解を α，β とするとき、α²＋β² を求めなさい。

解答：53

解説：x²−5x−14=(x−7)(x＋2) なので、解は7と−2です。したがって α²＋β²＝7²＋(−2)²＝49＋4＝53 です。

問題：y＝ax² が点（−3，54）を通る。この関数で x＝5 のときの y を求めなさい。

解答：150

解説：54＝a×(−3)² より 54＝9a、a＝6。したがって y＝6x²。x＝5 のとき y＝6×25＝150 です。

問題：y＝−2x² において、x が −1 から 4 まで増加したときの変化の割合を求めなさい。

解答：−6

解説：x＝−1 のとき y＝−2、x＝4 のとき y＝−32。変化の割合は {−32−(−2)}÷{4−(−1)}＝−30÷5＝−6 です。

問題：二次方程式 x²−kx＋18＝0 の1つの解が3である。k ともう1つの解を求めなさい。

解答：k＝9、もう1つの解は6

解説：x＝3 を代入すると 9−3k＋18＝0。27−3k＝0 より k＝9。式は x²−9x＋18＝0 となり、(x−3)(x−6)=0。もう1つの解は6です。

問題：面積が96cm²で、横が縦より4cm長い長方形がある。縦の長さを求めなさい。

解答：8cm

解説：縦を x cm とすると、横は x＋4 cm。x(x＋4)=96 より x²＋4x−96＝0。(x−8)(x＋12)=0。長さなので x＝8 です。

問題：ある正の数を2乗して、その数の5倍を引くと84になる。この正の数を求めなさい。

解答：12

解説：正の数を x とすると x²−5x＝84。x²−5x−84＝0 より (x−12)(x＋7)=0。正の数なので x＝12 です。

問題：3x²＋px−10＝0 の1つの解が2である。p ともう1つの解を求めなさい。

解答：p＝−1、もう1つの解は −5/3

解説：x＝2 を代入すると 3×4＋2p−10＝0。12＋2p−10＝0 より 2p＋2＝0、p＝−1。式は 3x²−x−10＝0 となり、(3x＋5)(x−2)=0。もう1つの解は −5/3 です。

問題：x²−10x＋m＝0 が重解をもつとき、m の値と重解を求めなさい。

解答：m＝25、重解 x＝5

解説：x²−10x＋m が重解をもつには、平方の形 (x−5)² になる必要があります。(x−5)²=x²−10x＋25 なので、m＝25、重解は x＝5 です。

問題：x²−6x＋1＝0 の2つの解を α，β とするとき、1/α＋1/β を求めなさい。

解答：6

解説：二次方程式の解と係数の関係より、α＋β＝6、αβ＝1。したがって 1/α＋1/β=(α＋β)/αβ=6/1=6 です。

問題：y＝ax² で、x が1から4まで増加したときの変化の割合が10である。a を求めなさい。

解答：a＝2

解説：y＝ax² の x＝1 から x＝4 までの変化の割合は {16a−a}÷3＝15a÷3＝5a。これが10なので、5a＝10、a＝2 です。

問題：y＝ax² で、x が−5から−2まで増加したときの変化の割合が−14である。a を求めなさい。

解答：a＝2

解説：x＝−5 のとき y＝25a、x＝−2 のとき y＝4a。変化の割合は (4a−25a)÷3=−21a÷3=−7a。−7a＝−14 より a＝2 です。

問題：連続する2つの正の整数の積が156である。この2つの整数を求めなさい。

解答：12，13

解説：小さい方を x とすると、大きい方は x＋1。x(x＋1)=156 より x²＋x−156＝0。(x−12)(x＋13)=0。正の整数なので x＝12。したがって 12，13 です。

問題：ある正方形の一辺を3cm長くすると、面積が39cm²増えた。もとの正方形の一辺を求めなさい。

解答：5cm

解説：もとの一辺を x cm とすると、(x＋3)²−x²＝39。x²＋6x＋9−x²＝39 より 6x＋9＝39、6x＝30、x＝5 です。

問題：x²−y²＝45 を満たす正の整数 x，y の組をすべて求めなさい。

解答：(x，y)=(23，22)，(9，6)，(7，2)

解説：x²−y²=(x＋y)(x−y)=45。45の因数の組は 45と1、15と3、9と5。これより、x=(45＋1)/2=23，y=(45−1)/2=22。x=(15＋3)/2=9，y=(15−3)/2=6。x=(9＋5)/2=7，y=(9−5)/2=2 です。

問題：二次方程式 x²−2ax＋15＝0 の1つの解が3である。a ともう1つの解を求めなさい。

解答：a＝4、もう1つの解は5

解説：x＝3 を代入すると 9−6a＋15＝0。24−6a＝0 より a＝4。式は x²−8x＋15＝0 となり、(x−3)(x−5)=0。もう1つの解は5です。

問題：y＝ax² において、x＝2 から x＝6 までの変化の割合が24である。この関数で x＝−3 のときの y を求めなさい。

解答：27

解説：x＝2 のとき y＝4a、x＝6 のとき y＝36a。変化の割合は (36a−4a)÷(6−2)=32a÷4=8a。8a＝24 より a＝3。したがって y＝3x²。x＝−3 のとき y＝3×9＝27 です。