問題：x²−49＝0 を解きなさい。

解答：x＝±7

解説：x²＝49 より、x＝±7 です。

問題：x²＋12x＋35＝0 を解きなさい。

解答：x＝−5，−7

解説：x²＋12x＋35=(x＋5)(x＋7)。よって x＝−5，−7 です。

問題：x²−16x＋63＝0 を解きなさい。

解答：x＝7，9

解説：x²−16x＋63=(x−7)(x−9)。よって x＝7，9 です。

問題：4x²−100＝0 を解きなさい。

解答：x＝±5

解説：4x²＝100 より x²＝25。したがって x＝±5 です。

問題：x²−10x＋25＝0 を解きなさい。

解答：x＝5

解説：x²−10x＋25=(x−5)²。よって x＝5 です。

問題：x²−3x−54＝0 を解きなさい。

解答：x＝9，−6

解説：x²−3x−54=(x−9)(x＋6)。よって x＝9，−6 です。

問題：2x²＋14x＝0 を解きなさい。

解答：x＝0，−7

解説：2x²＋14x=2x(x＋7)。よって x＝0，−7 です。

問題：x²＋4x−45＝0 を解きなさい。

解答：x＝5，−9

解説：x²＋4x−45=(x−5)(x＋9)。よって x＝5，−9 です。

問題：√72−√32 を計算しなさい。

解答：2√2

解説：√72=6√2、√32=4√2。よって 6√2−4√2=2√2 です。

問題：(√6＋√2)(√6−√2) を計算しなさい。

解答：4

解説：和と差の積なので、(√6)²−(√2)²=6−2=4 です。

問題：y＝4x² のとき、x＝−3 のときの y を求めなさい。

解答：36

解説：y＝4×(−3)²＝4×9＝36 です。

問題：y＝−3x² のとき、x＝4 のときの y を求めなさい。

解答：−48

解説：y＝−3×4²＝−3×16＝−48 です。

問題：y＝ax² において、x＝−5 のとき y＝75 である。a を求めなさい。

解答：a＝3

解説：75＝a×(−5)² より、75＝25a。したがって a＝3 です。

問題：y＝ax² において、x＝4 のとき y＝−48 である。a を求めなさい。

解答：a＝−3

解説：−48＝a×4² より、−48＝16a。したがって a＝−3 です。

問題：y＝2x² において、x＝−6 のときの y を求めなさい。

解答：72

解説：y＝2×(−6)²＝2×36＝72 です。

問題：y＝−4x² において、y＝−64 のとき x を求めなさい。

解答：x＝±4

解説：−64＝−4x² より x²＝16。したがって x＝±4 です。

問題：y＝ax² のグラフが点（−2，20）を通るとき、a を求めなさい。

解答：a＝5

解説：20＝a×(−2)² より、20＝4a。したがって a＝5 です。

問題：y＝6x² のグラフ上で、y＝54 となる x の値を求めなさい。

解答：x＝±3

解説：54＝6x² より x²＝9。したがって x＝±3 です。

問題：y＝x² のグラフについて、x＝−4 から x＝1 まで変化するときの y の変化量を求めなさい。

解答：−15

解説：x＝−4 のとき y＝16、x＝1 のとき y＝1。変化量は 1−16=−15 です。

問題：y＝ax² で a＞0 のとき、グラフの開き方を説明しなさい。

解答例：上に開く放物線になる。

解説：a が正のとき、y＝ax² のグラフは原点を通り、上向きに開く放物線になります。

問題：3x²−13x＋4＝0 を解きなさい。

解答：x＝4，1/3

解説：3x²−13x＋4=(3x−1)(x−4)。よって x＝1/3，4 です。

問題：2x²＋5x−12＝0 を解きなさい。

解答：x＝3/2，−4

解説：2x²＋5x−12=(2x−3)(x＋4)。よって x＝3/2，−4 です。

問題：x²−10x−11＝0 を平方完成を用いて解きなさい。

解答：x＝11，−1

解説：x²−10x−11＝0 より x²−10x＝11。平方完成すると (x−5)²＝36。したがって x−5＝±6、x＝11，−1 です。

問題：x²＋4x−21＝0 を平方完成を用いて解きなさい。

解答：x＝3，−7

解説：x²＋4x−21＝0 より x²＋4x＝21。平方完成すると (x＋2)²＝25。したがって x＋2＝±5、x＝3，−7 です。

問題：x²−4x−12＝0 の2つの解を α，β とするとき、α²＋β² を求めなさい。

解答：40

解説：x²−4x−12=(x−6)(x＋2) なので、解は6と−2です。したがって α²＋β²＝6²＋(−2)²＝36＋4＝40 です。

問題：y＝ax² が点（3，−63）を通る。この関数で x＝−2 のときの y を求めなさい。

解答：−28

解説：−63＝a×3² より −63＝9a、a＝−7。したがって y＝−7x²。x＝−2 のとき y＝−7×4＝−28 です。

問題：y＝3x² において、x が −2 から 5 まで増加したときの変化の割合を求めなさい。

解答：9

解説：x＝−2 のとき y＝12、x＝5 のとき y＝75。変化の割合は (75−12)÷(5−(−2))＝63÷7＝9 です。

問題：二次方程式 x²−kx＋24＝0 の1つの解が4である。k ともう1つの解を求めなさい。

解答：k＝10、もう1つの解は6

解説：x＝4 を代入すると 16−4k＋24＝0。40−4k＝0 より k＝10。式は x²−10x＋24＝0 となり、(x−4)(x−6)=0。もう1つの解は6です。

問題：面積が120cm²で、横が縦より7cm長い長方形がある。縦の長さを求めなさい。

解答：8cm

解説：縦を x cm とすると、横は x＋7 cm。x(x＋7)=120 より x²＋7x−120＝0。(x−8)(x＋15)=0。長さなので x＝8 です。

問題：ある正の数を2乗して、その数の7倍を引くと60になる。この正の数を求めなさい。

解答：12

解説：正の数を x とすると x²−7x＝60。x²−7x−60＝0 より (x−12)(x＋5)=0。正の数なので x＝12 です。

問題：2x²＋px−15＝0 の1つの解が3である。p ともう1つの解を求めなさい。

解答：p＝−1、もう1つの解は −5/2

解説：x＝3 を代入すると 2×9＋3p−15＝0。18＋3p−15＝0 より 3p＋3＝0、p＝−1。式は 2x²−x−15＝0 となり、(2x＋5)(x−3)=0。もう1つの解は −5/2 です。

問題：x²−12x＋m＝0 が重解をもつとき、m の値と重解を求めなさい。

解答：m＝36、重解 x＝6

解説：x²−12x＋m が重解をもつには、平方の形 (x−6)² になる必要があります。(x−6)²=x²−12x＋36 なので、m＝36、重解は x＝6 です。

問題：x²−8x＋2＝0 の2つの解を α，β とするとき、1/α＋1/β を求めなさい。

解答：4

解説：解と係数の関係より、α＋β＝8、αβ＝2。したがって 1/α＋1/β=(α＋β)/αβ=8/2=4 です。

問題：y＝ax² で、x が2から5まで増加したときの変化の割合が21である。a を求めなさい。

解答：a＝3

解説：x＝2 のとき y＝4a、x＝5 のとき y＝25a。変化の割合は (25a−4a)÷3=21a÷3=7a。7a＝21 より a＝3 です。

問題：y＝ax² で、x が−6から−1まで増加したときの変化の割合が−14である。a を求めなさい。

解答：a＝2

解説：x＝−6 のとき y＝36a、x＝−1 のとき y＝a。変化の割合は (a−36a)÷5=−35a÷5=−7a。−7a＝−14 より a＝2 です。

問題：連続する2つの正の偶数の積が168である。この2つの偶数を求めなさい。

解答：12，14

解説：小さい方を x とすると、大きい方は x＋2。x(x＋2)=168 より x²＋2x−168＝0。(x−12)(x＋14)=0。正の偶数なので x＝12。したがって 12，14 です。

問題：ある正方形の一辺を4cm長くすると、面積が80cm²増えた。もとの正方形の一辺を求めなさい。

解答：8cm

解説：もとの一辺を x cm とすると、(x＋4)²−x²＝80。x²＋8x＋16−x²＝80 より 8x＋16＝80、8x＝64、x＝8 です。

問題：x²−y²＝72 を満たす正の整数 x，y の組をすべて求めなさい。

解答：(x，y)=(19，17)，(11，7)，(9，3)

解説：x²−y²=(x＋y)(x−y)=72。x＋y と x−y は同じ偶奇なので、使える因数の組は 36と2、18と4、12と6 です。これより (x，y)=(19，17)，(11，7)，(9，3) です。

問題：二次方程式 x²−2ax＋21＝0 の1つの解が3である。a ともう1つの解を求めなさい。

解答：a＝5、もう1つの解は7

解説：x＝3 を代入すると 9−6a＋21＝0。30−6a＝0 より a＝5。式は x²−10x＋21＝0 となり、(x−3)(x−7)=0。もう1つの解は7です。

問題：y＝ax² において、x＝−4 から x＝2 までの変化の割合が−18である。この関数で x＝5 のときの y を求めなさい。

解答：75

解説：x＝−4 のとき y＝16a、x＝2 のとき y＝4a。変化の割合は (4a−16a)÷(2−(−4))=−12a÷6=−2a。−2a＝−18 より a＝9。したがって y＝9x²。x＝5 のとき y＝9×25＝225 です。