問題：x²−121＝0 を解きなさい。

解答：x＝±11

解説：x²＝121 より、x＝±11です。

問題：x²＋14x＋45＝0 を解きなさい。

解答：x＝−5，−9

解説：x²＋14x＋45=(x＋5)(x＋9)。よってx＝−5，−9です。

問題：x²−19x＋84＝0 を解きなさい。

解答：x＝7，12

解説：x²−19x＋84=(x−7)(x−12)。よってx＝7，12です。

問題：4x²−196＝0 を解きなさい。

解答：x＝±7

解説：4x²＝196 より x²＝49。したがってx＝±7です。

問題：x²−18x＋81＝0 を解きなさい。

解答：x＝9

解説：x²−18x＋81=(x−9)²。よってx＝9です。

問題：x²−5x−84＝0 を解きなさい。

解答：x＝12，−7

解説：x²−5x−84=(x−12)(x＋7)。よってx＝12，−7です。

問題：3x²＋21x＝0 を解きなさい。

解答：x＝0，−7

解説：3x²＋21x=3x(x＋7)。よってx＝0，−7です。

問題：x²＋6x−55＝0 を解きなさい。

解答：x＝5，−11

解説：x²＋6x−55=(x−5)(x＋11)。よってx＝5，−11です。

問題：√98＋√50−√18 を簡単にしなさい。

解答：9√2

解説：√98=7√2、√50=5√2、√18=3√2。よって7√2＋5√2−3√2=9√2です。

問題：(√11＋√3)(√11−√3) を計算しなさい。

解答：8

解説：和と差の積なので、11−3=8です。

問題：y＝6x² のとき、x＝−3 のときの y を求めなさい。

解答：54

解説：y＝6×(−3)²＝6×9＝54です。

問題：y＝−4x² のとき、x＝5 のときの y を求めなさい。

解答：−100

解説：y＝−4×5²＝−4×25＝−100です。

問題：y＝ax² において、x＝−4 のとき y＝96 である。a を求めなさい。

解答：a＝6

解説：96＝a×(−4)² より96＝16a。したがってa＝6です。

問題：y＝ax² において、x＝5 のとき y＝−125 である。a を求めなさい。

解答：a＝−5

解説：−125＝a×5² より−125＝25a。したがってa＝−5です。

問題：y＝−5x² において、y＝−245 のとき x を求めなさい。

解答：x＝±7

解説：−245＝−5x² よりx²＝49。したがってx＝±7です。

問題：y＝3x² において、x の値が5倍になると y は何倍になるか答えなさい。

解答：25倍

解説：xが5倍になるとx²は25倍になります。係数3は変わらないのでyも25倍です。

問題：y＝ax² のグラフが点（−3，63）を通るとき、a を求めなさい。

解答：a＝7

解説：63＝a×(−3)² より63＝9a。したがってa＝7です。

問題：y＝8x² のグラフ上で、y＝200 となる x の値を求めなさい。

解答：x＝±5

解説：200＝8x² よりx²＝25。したがってx＝±5です。

問題：y＝x² のグラフについて、x＝−6 から x＝4 まで変化するときの y の変化量を求めなさい。

解答：−20

解説：x＝−6のときy＝36、x＝4のときy＝16。変化量は16−36=−20です。

問題：y＝ax² で a＜0 のとき、x が正の範囲で増加すると y はどう変化するか答えなさい。

解答例：減少する。

解説：a＜0 のときグラフは下に開き、x＞0では右へ進むほどyの値は小さくなります。

問題：4x²−15x−4＝0 を解きなさい。

解答：x＝4，−1/4

解説：4x²−15x−4=(4x＋1)(x−4)。よってx＝−1/4，4です。

問題：5x²＋13x−6＝0 を解きなさい。

解答：x＝2/5，−3

解説：5x²＋13x−6=(5x−2)(x＋3)。よってx＝2/5，−3です。

問題：x²−14x−15＝0 を平方完成を用いて解きなさい。

解答：x＝15，−1

解説：x²−14x＝15。平方完成すると(x−7)²＝64。よってx−7＝±8、x＝15，−1です。

問題：x²＋12x−13＝0 を平方完成を用いて解きなさい。

解答：x＝1，−13

解説：x²＋12x＝13。平方完成すると(x＋6)²＝49。よってx＋6＝±7、x＝1，−13です。

問題：x²−9x−22＝0 の2つの解を α，β とするとき、α²＋β² を求めなさい。

解答：125

解説：x²−9x−22=(x−11)(x＋2)。解は11と−2なので、α²＋β²＝121＋4＝125です。

問題：y＝ax² が点（−5，−200）を通る。この関数で x＝3 のときの y を求めなさい。

解答：−72

解説：−200＝a×25よりa＝−8。したがってy＝−8x²。x＝3のときy＝−8×9＝−72です。

問題：y＝2x² において、x が −4 から 6 まで増加したときの変化の割合を求めなさい。

解答：4

解説：x＝−4でy＝32、x＝6でy＝72。変化の割合は(72−32)÷10=4です。

問題：二次方程式 x²−kx＋40＝0 の1つの解が5である。k ともう1つの解を求めなさい。

解答：k＝13、もう1つの解は8

解説：x＝5を代入すると25−5k＋40＝0。65−5k＝0よりk＝13。式はx²−13x＋40＝0となり、もう1つの解は8です。

問題：面積が238cm²で、横が縦より3cm長い長方形がある。縦の長さを求めなさい。

解答：14cm

解説：縦をxcmとすると、横はx＋3cm。x(x＋3)=238。x²＋3x−238=0より(x−14)(x＋17)=0。長さなのでx＝14です。

問題：ある正の数を2乗して、その数の9倍を引くと112になる。この正の数を求めなさい。

解答：16

解説：正の数をxとするとx²−9x＝112。x²−9x−112=0より(x−16)(x＋7)=0。正の数なのでx＝16です。

問題：5x²＋px−18＝0 の1つの解が2である。p ともう1つの解を求めなさい。

解答：p＝−1、もう1つの解は−9/5

解説：x＝2を代入すると20＋2p−18＝0。2p＋2＝0よりp＝−1。式は5x²−x−18＝0=(5x＋9)(x−2)。もう1つの解は−9/5です。

問題：x²−18x＋m＝0 が重解をもつとき、m の値と重解を求めなさい。

解答：m＝81、重解 x＝9

解説：重解をもつには(x−9)²の形になります。(x−9)²=x²−18x＋81なので、m＝81、重解はx＝9です。

問題：x²−12x＋5＝0 の2つの解を α，β とするとき、1/α＋1/β を求めなさい。

解答：12/5

解説：解と係数の関係より、α＋β＝12、αβ＝5。したがって1/α＋1/β=(α＋β)/αβ=12/5です。

問題：y＝ax² で、x が3から8まで増加したときの変化の割合が44である。a を求めなさい。

解答：a＝4

解説：x＝3でy＝9a、x＝8でy＝64a。変化の割合は(64a−9a)÷5=11a。11a＝44よりa＝4です。

問題：y＝ax² で、x が−7から−3まで増加したときの変化の割合が−40である。a を求めなさい。

解答：a＝4

解説：x＝−7でy＝49a、x＝−3でy＝9a。変化の割合は(9a−49a)÷4=−10a。−10a＝−40よりa＝4です。

問題：連続する2つの正の偶数の積が288である。この2つの偶数を求めなさい。

解答：16，18

解説：小さい方をxとすると、x(x＋2)=288。x²＋2x−288=0。(x−16)(x＋18)=0。正の偶数なので16，18です。

問題：ある正方形の一辺を6cm長くすると、面積が204cm²増えた。もとの正方形の一辺を求めなさい。

解答：14cm

解説：もとの一辺をxcmとすると、(x＋6)²−x²=204。12x＋36=204よりx＝14です。

問題：x²−y²＝165 を満たす正の整数 x，y の組をすべて求めなさい。

解答：(x，y)=(83，82)，(29，26)，(19，14)，(13，2)

解説：(x＋y)(x−y)=165。因数の組は165と1、55と3、33と5、15と11。これより(x,y)=(83,82),(29,26),(19,14),(13,2)です。

問題：二次方程式 x²−2ax＋63＝0 の1つの解が7である。a ともう1つの解を求めなさい。

解答：a＝8、もう1つの解は9

解説：x＝7を代入すると49−14a＋63＝0。112−14a＝0よりa＝8。式はx²−16x＋63＝0となり、もう1つの解は9です。

問題：y＝ax² において、x＝−5 から x＝3 までの変化の割合が−20である。この関数で x＝6 のときの y を求めなさい。

解答：360

解説：x＝−5でy＝25a、x＝3でy＝9a。変化の割合は(9a−25a)÷8=−2a。−2a＝−20よりa＝10。x＝6のときy＝10×36＝360です。