【高校数学】2, 3, 7, 43, 1807, … の6番目の数は？一見バラバラな数列の規則を見抜けるか

今日の1問は、一見バラバラに並んだ数字の規則を見抜く高校数学です。
たった1つの規則でつながっています。ヒントなしで解けたらかなり鋭いです♪

今日の問題

次の数列の規則を見つけ、6番目の数を求めよ。

2, 3, 7, 43, 1807, …

まずヒント

となりどうしの数の関係を、式にしてみます。

「次の数から 1 を引く」と、きれいな形が見えてきます。

解き方

ステップ1　1 を引いてみる

3 − 1 ＝ 2、7 − 1 ＝ 6、43 − 1 ＝ 42、1807 − 1 ＝ 1806 です。

ステップ2　規則を見つける

2 ＝ 2 × 1、6 ＝ 3 × 2、42 ＝ 7 × 6、1806 ＝ 43 × 42 となっていて、「次の数 − 1 ＝ いまの数 ×（いまの数 − 1）」が成り立ちます。
つまり a_n＋1 ＝ a_n² − a_n ＋ 1 です。

ステップ3　規則を確かめる

2² − 2 ＋ 1 ＝ 3、3² − 3 ＋ 1 ＝ 7、7² − 7 ＋ 1 ＝ 43、43² − 43 ＋ 1 ＝ 1807 と、すべて合います。

ステップ4　6番目を求める

1807 × 1806 ＋ 1 ＝ 3263442 ＋ 1 ＝ 3263443 です。

答え

3263443

1807 × 1806 ＋ 1 を計算した値です。

ひらめきで解く方法

実は 1806 ＝ 2 × 3 × 7 × 43 で、次の数は「これまでの数をすべてかけて、1 を足したもの」になっています。

この数列は、素数が無限にあることの証明に出てくる考え方（ユークリッドの証明）と深くつながっています。

間違えやすいところ

• a_n＋1 ＝ a_n² − a_n ＋ 1 の「− a_n」を落とさない
• 1807 × 1806 の計算ミスに注意（1807 × 1800 ＋ 1807 × 6 と分けると楽）
• 規則を見つけたら、必ず前の項で確かめる

計算や式でつまずいたら

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