【中1数学】円柱と球の体積｜水の深さを求める問題の解き方と答え

今日の1問は、円柱に球を沈める問題です。
水があふれるところがポイント♪

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今日の問題

底面の半径が12cm、高さが24cmの円柱の形をした容器に、水がいっぱいに入っています。

この容器の中に、半径12cmの球を静かに沈めると、水があふれました。

そのあと、球を静かに取り出したとき、容器に残った水の深さを求めよ。

まずヒント

あふれた水の量＝球の体積

これに気づければ、あとは計算だけです。

解き方

ステップ1　円柱の体積（水がいっぱいのとき）

π × 12 × 12 × 24 ＝ 3456π（cm³）

ステップ2　球の体積

公式は 4/3 × π × 半径の3乗

4/3 × π × 12 × 12 × 12 ＝ 2304π（cm³）

（12の3乗は1728。1728 ÷ 3 ＝ 576、576 × 4 ＝ 2304）

ステップ3　残った水の体積

3456π – 2304π ＝ 1152π（cm³）

ステップ4　水の深さ

容器の底面積は π × 12 × 12 ＝ 144π

深さ＝ 1152π ÷ 144π ＝ 8（cm）

πは約分で消えます。

答え

8cm

ひらめきで解く方法

球の直径は24cm。
円柱の高さも24cm。

球はぴったり入っています。

実は、球の体積は円柱の体積のちょうど2/3です。
⇒ 残る水は1/3
⇒ 24 × 1/3 ＝ 8cm

計算なしで出せるので、自分はこっちが好きです。

この「球は円柱の2/3」は、昔の数学者アルキメデスが特に気に入っていた発見だと伝えられています。

間違えやすいところ

球の体積の公式は「半径の3乗」。2乗にしないように注意
引き算するのは「円柱の体積」から「球の体積」
深さを出すときは、体積を「底面積」で割る
答えにπは残りません（約分で消えればOK）

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