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今日の1問は、中2数学。一見すると手がかりの少ない整数問題ですが、式の対称性に気づくと解がきれいに整理できます♪
今日の問題
x，y を整数とする。x ＜ y で、x2 ＋ xy ＋ y2 ＝ 3367 を満たす組 (x, y) をすべて求めよ。
まずヒント
x2＋xy＋y2 を 4 倍すると、平方の形に直せます。
まず x，y がどちらも正の場合だけを探し、そこから他の解を作ります。
解き方
ステップ1 平方の形にする
両辺を 4 倍すると、(2x ＋ y)2 ＋ 3y2 ＝ 13468 になります。
ステップ2 正の解の範囲をしぼる
0 ＜ x ＜ y の場合、3367 ＝ x2 ＋ xy ＋ y2 ＜ 3y2 より y2 ＞ 1122 なので y ≧ 34 です。また y2 ＜ 3367 より y ≦ 58 です。
ステップ3 y ＝ 34〜58 を調べる
(2x ＋ y)2 ＝ 13468 − 3y2 が平方数になるか確かめます。平方数になるのは、y ＝ 34（10000 ＝ 1002），y ＝ 43（7921 ＝ 892），y ＝ 53（5041 ＝ 712），y ＝ 57（3721 ＝ 612）の 4 つだけで、x はそれぞれ 33，23，9，2 です。
ステップ4 他の解を作る
x2 ＋ xy ＋ y2 ＝ {x2 ＋ y2 ＋ (x ＋ y)2} ÷ 2 と書けるので、x，y，−(x ＋ y) の 3 つの数は対等です。(2, 57) からは 3 数 2，57，−59 が得られ、この中から 2 つを選んで小さい順に並べると (−59, 2)，(−59, 57)，(2, 57) の 3 組です。符号を反転した −2，−57，59 からも (−57, −2)，(−57, 59)，(−2, 59) が得られます。どの整数解も、必要なら符号を反転すると「2 つが正、1 つが負」の 3 数になるので、上の正の解から必ず作れます。
ステップ5 数え上げる
正の解 4 つそれぞれから 6 組ずつ得られるので、合計 4 × 6 ＝ 24 組です。
答え
24組
(−67, 33)，(−67, 34)，(−66, 23)，(−66, 43)，(−62, 9)，(−62, 53)，(−59, 2)，(−59, 57)，(−57, −2)，(−57, 59)，(−53, −9)，(−53, 62)，(−43, −23)，(−43, 66)，(−34, −33)，(−34, 67)，(−33, 67)，(−23, 66)，(−9, 62)，(−2, 59)，(2, 57)，(9, 53)，(23, 43)，(33, 34)
ひらめきで解く方法
3 つの数 x，y，−(x ＋ y) が対等、という見方がひらめきの核心です。正の解を 4 つ見つければ、残りは「選んで並べ替える」「符号を反転する」で全部作れます。
3367 ＝ 7 × 13 × 37 で、どの素因数も 3 で割ると 1 余る素数です。だから x2＋xy＋y2 の形で表しやすく、解もたくさんあります。
間違えやすいところ
- x ＜ y の条件を忘れて、(x, y) と (y, x) を別々に数えてしまう。
- 正の解だけを見つけて、負の数を含む解を落とす。
- y の範囲をしぼらず、手当たり次第に代入して時間がかかる。
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