今日の1問は、ある規則が隠れた数列の問題です。
100番目まで書き出さなくても、公式を自分で見つければ一瞬？♪
今日の問題
次の数列について、100番目の数を求めよ。3、8、15、24、35、…
まずヒント
となり合う数の差を見てみましょう。5、7、9、11…と、2ずつ増えています。
それぞれの数に 1 を足すと、どんな数が並ぶでしょうか。
解き方
ステップ1 1 を足してみる
3 ＋ 1 ＝ 4、8 ＋ 1 ＝ 9、15 ＋ 1 ＝ 16、24 ＋ 1 ＝ 25、35 ＋ 1 ＝ 36
ステップ2 規則を見つける
4、9、16、25、36 は、22、32、42、52、62 です。
つまり、k 番目の数に 1 を足すと (k ＋ 1)2 になります。
ステップ3 公式にする
k 番目の数は (k ＋ 1)2 − 1 ＝ k2 ＋ 2k ＝ k(k ＋ 2) です。
確かめると、1番目は 1 × 3 ＝ 3、2番目は 2 × 4 ＝ 8、3番目は 3 × 5 ＝ 15 で合っています。
ステップ4 100番目を求める
100 番目は (100 ＋ 1)2 − 1 ＝ 1012 − 1 ＝ 10201 − 1 ＝ 10200 です。
k(k ＋ 2) で考えると、100 × 102 ＝ 10200 で同じ答えになります。
答え
10200
k 番目の数は (k ＋ 1)2 − 1 です。
ひらめきで解く方法
数列の問題では、まず「差を見る」「1 を足す（引く）」「平方数と比べる」といった方法を試します。今回は、3、8、15、24、35 のすぐ上に 4、9、16、25、36 という平方数があることに気づけたら勝ちです。
公式 k(k ＋ 2) は、(k ＋ 1)2 − 1 ＝ (k ＋ 1 − 1)(k ＋ 1 ＋ 1) という因数分解（和と差の積）からも出てきます。
間違えやすいところ
- k 番目が (k ＋ 1)2 − 1 であることに注意（k2 − 1 ではありません）
- 1012 ＝ 10201 の計算ミスに注意します
- 1番目、2番目の数を公式に入れて、必ず確かめます
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