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今日の1問は、中2数学。x2 ＋ xy ＋ y2 の形に注目して、整数解を絞り込んでいく問題です♪
今日の問題
x，y を整数とする。x ＜ y で、x2 ＋ xy ＋ y2 ＝ 1872 を満たす組 (x, y) をすべて求めよ。
まずヒント
x2＋xy＋y2 を 4 倍して、平方の形にできないか考えてみましょう。
1872 が 3 の倍数であることにも注目です。
解き方
ステップ1 平方の形にする
両辺を 4 倍すると、4x2 ＋ 4xy ＋ 4y2 ＝ 7488 です。左辺は (2x ＋ y)2 ＋ 3y2 と変形できるので、(2x ＋ y)2 ＋ 3y2 ＝ 7488 になります。
ステップ2 正の解の範囲をしぼる
まず 0 ＜ x ＜ y の場合を考えます。1872 ＝ x2 ＋ xy ＋ y2 ＜ 3y2 より y2 ＞ 624 なので y ≧ 25 です。また y2 ＜ 1872 より y ≦ 43 です。
ステップ3 3 の倍数に注目する
7488 は 3 の倍数なので、(2x ＋ y)2 も 3 の倍数となり、2x ＋ y は 3 の倍数です。すると (2x ＋ y)2 は 9 の倍数になります。7488 ＝ 9 × 832 も 9 の倍数なので、3y2 も 9 の倍数、つまり y も 3 の倍数です。よって y ＝ 27，30，33，36，39，42 だけを調べれば十分です。
ステップ4 調べる
(2x ＋ y)2 ＝ 7488 − 3y2 が平方数になるのは y ＝ 36 のときだけです（7488 − 3888 ＝ 3600 ＝ 602）。このとき 2x ＋ 36 ＝ 60 より x ＝ 12 です。ほかの y では平方数になりません。
ステップ5 他の解を作る
x2 ＋ xy ＋ y2 ＝ {x2 ＋ y2 ＋ (x ＋ y)2} ÷ 2 と書けるので、x，y，−(x ＋ y) の 3 つの数は対等です。(12, 36) からは 3 数 12，36，−48 が得られ、この中から 2 つを選んで小さい順に並べると (−48, 12)，(−48, 36)，(12, 36) の 3 組です。符号を反転した −12，−36，48 からも (−36, −12)，(−36, 48)，(−12, 48) が得られます。整数解は、必要なら符号を反転すると「2 つが正、1 つが負」の 3 数になるので、正の解 (12, 36) から必ず作れます。
答え
6組
(−48, 12)，(−48, 36)，(−36, −12)，(−36, 48)，(−12, 48)，(12, 36)
ひらめきで解く方法
3 つの数 x，y，−(x ＋ y) が対等、という見方がひらめきの核心です。この 3 数の平方の和は 2 × 1872 ＝ 3744 で、144 ＋ 1296 ＋ 2304 ＝ 3744 と 12，36，−48 が確かに当てはまります。
正の解を 1 つ見つければ、残りは「選んで並べ替える」「符号を反転する」で全部作れます。
間違えやすいところ
- x ＜ y の条件を忘れて、(x, y) と (y, x) を別々に数えてしまう。
- 正の解 (12, 36) だけを見つけて、負の数を含む解を落とす。
- y の範囲や「3 の倍数」という条件を使わず、手当たり次第に代入して時間がかかる。
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