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今日の1問は、中3数学。積が決まっているとき、展開して整理すると、本当に考えるのは足し算だけになります♪
今日の問題
a，b は正の整数で、ab ＝ 96 を満たす。このとき、(a ＋ 2)(b ＋ 2) の最小値を求めよ。
まずヒント
(a＋2)(b＋2) を展開すると、ab が出てきます。ab は 96 と決まっています。
解き方
ステップ1 展開する
(a ＋ 2)(b ＋ 2) ＝ ab ＋ 2a ＋ 2b ＋ 4 ＝ 96 ＋ 2(a ＋ b) ＋ 4 ＝ 100 ＋ 2(a ＋ b) です。
ステップ2 a＋b を最小にする
考えるのは a ＋ b の最小値だけです。ab ＝ 96 となる正の整数の組は (1, 96)，(2, 48)，(3, 32)，(4, 24)，(6, 16)，(8, 12) で、a ＋ b はそれぞれ 97，50，35，28，22，20 です。
ステップ3 代入する
a ＋ b の最小値は 20（a ＝ 8，b ＝ 12 のとき）なので、100 ＋ 2 × 20 ＝ 140 です。確かめると、(8 ＋ 2)(12 ＋ 2) ＝ 10 × 14 ＝ 140 です。
答え
140
a ＝ 8，b ＝ 12（または a ＝ 12，b ＝ 8）のとき
ひらめきで解く方法
積が一定のとき、2つの数が近いほど和は小さくなります。√96 ≒ 9.8 に近い約数の組は 8 と 12 です。
相加相乗平均 a ＋ b ≧ 2√(ab) ＝ 2√96 ≒ 19.6 を知っていれば、整数では 20 以上だと見当がつきます。
間違えやすいところ
- (a＋2)(b＋2) を組ごとに計算して、計算ミスをしてしまう。
- 展開で 2a＋2b の「2」を落として、100 ＋ (a＋b) としてしまう。
- 96 の約数の組（全部で 6 組）を見落とす。
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