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今日の1問は、中3数学。整数の積が決まっているとき、2つの数の差をどこまで小さくできるのかを考える問題です♪
今日の問題
整数 a，b が ab ＝ 999 を満たしているとき、(a − b)2 ＜ 81 を満たす a，b は存在するか。存在するか、しないかを答えよ。
まずヒント
(a − b)2 ＜ 81 は、「a と b の差の大きさが 9 未満」という意味です。
ab ＝ 999 になる整数の組を、約数から全部書き出してみましょう。
解き方
ステップ1 条件を言い換える
(a − b)2 ＜ 81 は、−9 ＜ a − b ＜ 9、つまり a と b の差の大きさが 9 未満ということです。
ステップ2 999 の約数を調べる
999 ＝ 33×37 なので、約数は 1，3，9，27，37，111，333，999 の 8 個です。ab ＝ 999 となる正の組は (1, 999)，(3, 333)，(9, 111)，(27, 37) の 4 つです。a，b がともに負の組 (−27, −37) などもありますが、差の大きさは同じです。
ステップ3 差がいちばん小さい組を探す
それぞれの差は 998，330，102，10 です。いちばん小さいのは (27, 37) の 10 です。
ステップ4 結論
どの組でも a と b の差の大きさは 10 以上なので、(a − b)2 ≧ 100 です。これは 81 より大きいので、条件を満たす組はありません。
答え
存在しない
どの組でも (a − b)2 ≧ 100 となり、81 未満にはなりません。
ひらめきで解く方法
ab が一定のとき、a と b が近いほど差は小さくなります。√999 ≒ 31.6 に近い約数のペアは 27 と 37 です。
27 と 37 の差が 10 だと分かれば、それより近い組はないので、それだけで結論が出ます。
間違えやすいところ
- 999 の約数を見落とす（1，3，9，27，37，111，333，999 の 8 個です）。
- 負の整数の組を忘れる（差の大きさは同じなので、結論は変わりません）。
- (a − b)2 ＜ 81 を a − b ＜ 9 と読んでしまう（−9 ＜ a − b ＜ 9 です）。
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