今日の1問は、不思議な6桁の数を探す問題です。
実はこの数、ある分数の中に隠れています♪
今日の問題
ある6桁の整数 N があります。N を2倍、3倍、4倍、5倍、6倍しても、使われている6個の数字はまったく同じです。N を求めよ。
まずヒント
6倍しても6桁のままなので、N はそれほど大きくありません。
もう1つのヒントは、分数の 1/7 を小数にしたときの数字の並びです。
解き方
ステップ1 N の範囲をしぼる
6倍しても6桁なので、6N は 1000000 より小さくなります。だから N は 166666 以下。6桁なので、N は 100000 以上です。最高位の数字は1になります。
ステップ2 9の倍数だと分かる
使われている数字が同じなら、各桁の和も同じです。各桁の和が同じなら、N と 2N を9で割った余りが等しいので、N は9の倍数です。
ステップ3 1/7 に注目する
1 ÷ 7 ＝ 0.142857142857… と、142857 がくり返されます。そして 142857 × 7 ＝ 999999 です。
ステップ4 確かめる
142857 × 1 ＝ 142857
142857 × 2 ＝ 285714
142857 × 3 ＝ 428571
142857 × 4 ＝ 571428
142857 × 5 ＝ 714285
142857 × 6 ＝ 857142
どれも 1, 2, 4, 5, 7, 8 の6つの数字だけでできていて、並び方が入れかわっているだけです。
答え
N ＝ 142857
6桁の整数をすべて調べても、条件に合うのはこの数だけでした。
ひらめきで解く方法
1/7、2/7、3/7、…、6/7 を小数にすると、どれも「142857」の数字が順番を回すように並びます。たとえば 2/7 ＝ 0.285714285714…、3/7 ＝ 0.428571…。
これは 142857 を2倍、3倍…した答えの並びと同じです。分数の小数が同じ並びをくり返すから、整数にかけても数字が回るだけなのです。
間違えやすいところ
- 「6桁」の条件を忘れない。6倍しても6桁のままであること。
- 数字の並びが入れかわるだけで、使われている数字そのものは同じ。
- 7倍すると 999999 になり、条件の外。1倍〜6倍までがこの数の不思議。
- 先頭が0になる数（057142 など）は、6桁とは言えない。
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