今日の1問は、中2数学。一見すると、さいころの出方を全部調べるだけの問題に見えますが、三角形ができる条件を整理すると、数えるべき場合がはっきり見えてきます♪
今日の問題
大小 2 つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出た目を a、小さいさいころの出た目を b とする。長さ a cm，b cm，6 cm の 3 本の棒を用意するとき、この 3 本を辺とする三角形をつくることができる確率を求めよ。
まずヒント
3 本の棒で三角形をつくれる条件を思い出しましょう。いちばん長い辺と、ほかの 2 辺の和の関係です。
さいころの目は 1 から 6 までです。条件が自動的に成り立つ部分もあります。
解き方
ステップ1 三角形ができる条件
3 本の棒で三角形ができるのは、どの 1 辺も、ほかの 2 辺の和より短いときです。
ステップ2 条件を整理する
a ＜ b ＋ 6，b ＜ a ＋ 6，6 ＜ a ＋ b の 3 つです。a，b は 1 以上 6 以下なので、はじめの 2 つ（a ＜ b ＋ 6 と b ＜ a ＋ 6）は、a ＝ 6，b ＝ 1 のときでも 6 ＜ 7 で成り立ち、いつでも成り立ちます。残る条件は a ＋ b ＞ 6、つまり a ＋ b ≧ 7 です。
ステップ3 場合の数を数える
a ＋ b ＝ 7 は 6 通り、8 は 5 通り、9 は 4 通り、10 は 3 通り、11 は 2 通り、12 は 1 通りなので、合計 6 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 21 通りです。
ステップ4 確率を求める
全部で 6 × 6 ＝ 36 通りなので、確率は 21/36 ＝ 7/12 です。
答え
7/12
a ＋ b ≧ 7 となる 21 通りが 36 通りのうちの条件を満たす場合です。
ひらめきで解く方法
a ＋ b ≦ 6 となる場合（三角形ができない場合）を数える方が楽です。その場合は 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 15 通りです。
全体の 36 通りから引くと 36 − 15 ＝ 21 通りで、同じ結果になります。
間違えやすいところ
- a ＋ b ＝ 6 の場合も三角形ができると考えてしまう（a ＋ b ＝ 6 だと、3 点が一直線に並びます）。
- (a, b) ＝ (1, 6) と (6, 1) を同じ場合として数えてしまう（大小のさいころは区別します）。
- a ＜ b ＋ 6 などの条件を、毎回確かめて遠回りしてしまう。
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