【中2数学】正方形 ABCD の頂点 B，D から直線 ℓ に垂線をひく。BE＝11cm，DF＝5cm のとき、四角形 BEFD の面積は？

今日の1問は、中2数学。一見すると、正方形がななめになっていて複雑そうに見えますが、2つの直角三角形に注目すると、すっきり整理できます♪

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今日の問題

正方形 ABCD があり、頂点 A を通って A だけを共有する直線 ℓ がある。B，D から ℓ に垂線 BE，DF をひくと、BE ＝ 11cm，DF ＝ 5cm であった。このとき、四角形 BEFD の面積を求めよ。

∠BAD ＝ 90° であることから、直角三角形 ABE と直角三角形 DAF の関係を考えてみましょう。

BE と DF の向きにも注目です。どちらも直線 ℓ に垂直です。

ステップ1　直角三角形の合同を示す

直線 ℓ 上で ∠BAE ＋ ∠BAD ＋ ∠DAF ＝ 180° で、∠BAD ＝ 90° なので、∠BAE ＋ ∠DAF ＝ 90° です。また △ABE は直角三角形なので、∠ABE ＋ ∠BAE ＝ 90° です。よって ∠ABE ＝ ∠DAF となります。

ステップ2　長さを決める

△ABE と △DAF で、∠AEB ＝ ∠DFA ＝ 90°，∠ABE ＝ ∠DAF，AB ＝ DA（正方形の辺）なので、斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しく、△ABE ≡ △DAF です。したがって AE ＝ DF ＝ 5cm，AF ＝ BE ＝ 11cm とわかります。

ステップ3　EF の長さを求める

直線 ℓ が正方形とは A だけを共有するので、E と F は A をはさんで反対側にあります。EF ＝ AE ＋ AF ＝ 5 ＋ 11 ＝ 16cm です。

ステップ4　台形の面積を求める

BE ⊥ ℓ，DF ⊥ ℓ より BE ∥ DF なので、四角形 BEFD は台形です。上底と下底が BE ＝ 11cm，DF ＝ 5cm、高さが EF ＝ 16cm なので、面積は (11 ＋ 5) × 16 ÷ 2 ＝ 128cm² です。

128cm²

台形 BEFD の面積は (11 ＋ 5) × 16 ÷ 2 ＝ 128cm² です。

合同から EF ＝ AE ＋ AF ＝ DF ＋ BE です。つまり台形の高さは、上底と下底の和そのものです。

面積＝ (BE ＋ DF) × EF ÷ 2 ＝ (BE ＋ DF)² ÷ 2 なので、(11 ＋ 5)² ÷ 2 ＝ 256 ÷ 2 ＝ 128 と一発で求まります。

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