今日の1問は、高1数学。一見すると、順番に引くので場合分けが多くて複雑そうに見えますが、C が当たりという条件に注目すると、数える場合がぐっと減ります♪
今日の問題
当たりくじ 3 本をふくむ 12 本のくじがある。A，B，C の 3 人がこの順に 1 本ずつ引く（引いたくじはもどさない）。C が当たりを引いたとき、A，B の少なくとも一方が当たりを引いていた確率を求めよ。
まずヒント
「C が当たりを引いた」という条件のもとで、残りのくじがどうなっているかを考えてみましょう。
「少なくとも一方」は、余事象（どちらもはずれ）を使うと楽になります。
解き方
ステップ1 条件をつけたあとの状況を整理する
C が当たりを引いたとき、残りの 11 本には、当たりが 2 本、はずれが 9 本あります。A，B は、その 11 本から 2 本を引いたことになります。
ステップ2 余事象を考える
「A，B の少なくとも一方が当たり」の余事象は「A，B がどちらもはずれ」です。11 本から 2 本を選ぶ選び方は 11C2 ＝ 55 通り、そのうち 9 本のはずれから 2 本を選ぶのは 9C2 ＝ 36 通りです。
ステップ3 確率を求める
どちらもはずれる確率は 36/55 なので、少なくとも一方が当たりである確率は 1 − 36/55 ＝ 19/55 です。
答え
19/55
条件つき確率は、C が当たりのとき A，B がどちらもはずれる確率 36/55 の余事象で求められます。
ひらめきで解く方法
条件つき確率の公式で計算すると、P(C が当たり) ＝ 3/12 ＝ 1/4、P(A，B がはずれで C が当たり) ＝ 9/12 × 8/11 × 3/10 ＝ 9/55 です。
よって、C が当たりのとき A，B がともにはずれの確率は (9/55) ÷ (1/4) ＝ 36/55 となり、同じ結果になります。
間違えやすいところ
- C が当たりという条件を使わず、12 本全体で A，B の当たりを数えてしまう。
- 「少なくとも一方」を、「A が当たりまたは B が当たり」の足し算で求めようとして、重なりを引き忘れる。
- 条件のあとの母数を 12 本のままにしてしまう（残りは 11 本です）。
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