今日の1問は、高2数学。一見すると、1600回も投げるので場合の数では大変そうですが、座標 X を「表の出た回数」におきかえて、正規分布で近似すると解けます♪
今日の問題
数直線上の原点に点 P がある。1 枚の硬貨を投げて、表が出たら P を正の向きに 2、裏が出たら負の向きに 2 だけ動かす。硬貨を 1600 回投げたあとの P の座標を X とするとき、X ≧ −80 となる確率を求めよ。ただし、表の出る回数の分布は正規分布で近似できるものとし、標準正規分布で P(0 ≦ Z ≦ 1) ＝ 0.3413，P(0 ≦ Z ≦ 1.5) ＝ 0.4332，P(0 ≦ Z ≦ 2) ＝ 0.4772 とする。
まずヒント
X をそのまま考えるのではなく、表が出た回数 H で表してみましょう。
H は二項分布 B(1600, 1/2) に従います。平均と標準偏差を求めましょう。
解き方
ステップ1 X を表の回数 H で表す
表が H 回、裏が 1600 − H 回出たとすると、X ＝ 2H − 2(1600 − H) ＝ 4H − 3200 です。
ステップ2 条件を H の条件に直す
X ≧ −80 は 4H − 3200 ≧ −80 より、H ≧ 780 です。
ステップ3 H の平均と標準偏差を求める
H は二項分布 B(1600, 1/2) に従うので、平均は 1600 × 1/2 ＝ 800、標準偏差は √(1600 × 1/2 × 1/2) ＝ √400 ＝ 20 です。
ステップ4 標準化して正規分布表を使う
Z ＝ (H − 800) ÷ 20 とおくと、H ≧ 780 は Z ≧ (780 − 800) ÷ 20 ＝ −1 です。P(Z ≧ −1) ＝ P(−1 ≦ Z ≦ 0) ＋ P(Z ≧ 0) ＝ 0.3413 ＋ 0.5 ＝ 0.8413 となります。
答え
0.8413
P(X ≧ −80) ＝ P(Z ≧ −1) ＝ 0.3413 ＋ 0.5 ＝ 0.8413 です。
ひらめきで解く方法
標準正規分布は左右対称なので、P(−1 ≦ Z ≦ 0) ＝ P(0 ≦ Z ≦ 1) ＝ 0.3413 です。
1.5 や 2 の値は、この問題では使いません。問題文に出てくる数が全部使われるとは限りません。
間違えやすいところ
- X をそのまま正規分布に当てはめようとして、X の平均と標準偏差の求め方に迷う。
- X ≧ −80 を H ≧ −80 と読み違える（H ≧ 780 です）。
- P(Z ≧ −1) を 0.3413 だけで答えてしまい、右半分の 0.5 を足し忘れる。
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