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今日の1問は、中3数学の超難問？場合分けが大変そうに見えて、ある変形で一気に整理できます♪
今日の問題
x, y を整数とする。x2 ＋ xy ＋ y2 ＝ 468 を満たす整数 x, y をすべて求めよ。（負の数もふくむ）
まずヒント
両辺を 4 倍すると、2乗の和の形にできます。
3 の倍数に注目すると、調べる範囲が一気にしぼれます。
解き方
ステップ1 両辺を4倍して2乗の形にする
4x2 ＋ 4xy ＋ 4y2 ＝ (2x ＋ y)2 ＋ 3y2 なので、(2x ＋ y)2 ＋ 3y2 ＝ 1872 です。
ステップ2 3の倍数に注目する
1872 と 3y2 は 3 の倍数なので、(2x ＋ y)2 も 3 の倍数です。よって 2x ＋ y は 3 の倍数で、2x ＋ y ＝ 3k とおけます。
すると 9k2 ＋ 3y2 ＝ 1872、つまり 3k2 ＋ y2 ＝ 624 です。同じように y も 3 の倍数なので、y ＝ 3j とおくと、k2 ＋ 3j2 ＝ 208 になります。
ステップ3 j の範囲をしぼって調べる
3j2 ≦ 208 より、j は −8 から 8 までの整数です。j ＝ 0、1、2、…、8 のとき、k2 ＝ 208 − 3j2 は 208、205、196、181、160、133、100、61、16 となり、平方数になるのは j ＝ ±2（k ＝ ±14）、j ＝ ±6（k ＝ ±10）、j ＝ ±8（k ＝ ±4）のときです。
ステップ4 x, y にもどす
y ＝ 3j、x ＝ (3k − y) ÷ 2 ＝ 3(k − j) ÷ 2 で計算します。
j ＝ 2、k ＝ 14 のとき (x, y) ＝ (18, 6)、k ＝ −14 のとき (−24, 6)。
j ＝ −2、k ＝ 14 のとき (24, −6)、k ＝ −14 のとき (−18, −6)。
j ＝ 6、k ＝ 10 のとき (6, 18)、k ＝ −10 のとき (−24, 18)。
j ＝ −6、k ＝ 10 のとき (24, −18)、k ＝ −10 のとき (−6, −18)。
j ＝ 8、k ＝ 4 のとき (−6, 24)、k ＝ −4 のとき (−18, 24)。
j ＝ −8、k ＝ 4 のとき (18, −24)、k ＝ −4 のとき (6, −24)。
ステップ5 確かめる
(18, 6) を代入すると、324 ＋ 108 ＋ 36 ＝ 468 になり、条件を満たします。
答え
12組
(x, y) ＝ (6, 18)、(18, 6)、(−6, −18)、(−18, −6)、(6, −24)、(−24, 6)、(−6, 24)、(24, −6)、(18, −24)、(−24, 18)、(−18, 24)、(24, −18)
ひらめきで解く方法
この式は x と y を入れかえても、(x, y) を (−x, −y) にしても変わりません。さらに、x を −x − y に置きかえても同じ式になります。
そのため、解を1つ (6, 18) 見つければ、これらの操作で12組すべてが作れます。
間違えやすいところ
- 負の数の解を忘れない（12組のうち、半分以上は負の数をふくむ）
- (x, y) と (y, x) は別の組として数える
- 2x ＋ y が 3 の倍数になる理由（左辺が 3 の倍数になるため）を飛ばさない
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